Trigonometrical series. (Q2611917)

Die Theorie der trigonometrischen Reihen hat in den letzten Jahrzehnten eine nicht nur an weitverzweigtem Umfang der Literatur, sondern auch an Fülle und Tiefe der neu gewonnenen Ergebnisse einzigartige Fortentwicklung erfahren. Man darf vielleicht sagen, daß dieses historisch alte, für die Anwendungen wichtige und in vielfacher befruchtender Wirkung zu zahlreichen anderen mathematischen Disziplinen stehende Gebiet heute als ein Kernstück moderner Analysis in einer gewissen Abrundung vor uns steht. Es ist ohne Zweifel ein schwieriges Unterfangen, diese stürmische Fortentwicklung in eine adäquate Gesamtdarstellung der Theorie einzufangen. So ist es zu verstehen, daß die moderne mathematische Literatur gerade auf diesem Gebiete so lange Zeit eine schmerzlich empfundene Lücke aufzuweisen hatte. Nach \textit{Lebesgues} ``Séries trigonométriques'' (1906; F. d. M. 37, 281 (JFM 37.0281.*)) wurde erst in den letzten zehn Jahren wieder eine größere Zusammenschau versucht; es seien insbesondere genannt \textit{E. W. Hobson}, The theory of functions of a real variable (1926; F. d. M. 52, 237 (JFM 52.0237.*)) und \textit{Tonelli}, Serie trigonometriche (1928; F. d. M. 54, 298 (JFM 54.0298.*)), sowie der Encyklopädieartikel von \textit{Hilb-M. Riesz} (1924; F. d. M. 50, 198 (JFM 50.0198.*)) und \textit{Plessner}s Referat in \textit{Pascal}s Repertorium (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 119). So wertvoll diese Darstellungen im einzelnen sind, sie bieten doch nur Ausschnitte und haben die genannte Lücke noch nicht ausgefüllt. Erst das jetzt vorliegende Buch hat das Desiderat in weitem Maße erfüllt. In der Tat ist es dem Verf., der ja selbst insbesondere von der mengentheoretischen Seite her wertvolle Beiträge zur Theorie der divergenten \textit{Fourier}reihen geliefert hat, gelungen, seine eigene innige Vertrautheit mit dem Stoff und seine umfassende Literaturkenntnis in eine fast handbuchartige Gesamtdarstellung, die der modernen Entwicklung voll entspricht, umzusetzen. Daß er dabei die Theorie des \textit{Fourier}integrals nur in den wesentlichen Grundzügen bringt, ist bei dem schon so zu bewältigenden Stoffumfang nur zu begrüßen. Im übrigen aber gibt es kaum eine der vielen Richtungen, die die Untersuchung über trigonometrische Reihen eingeschlagen hat, die nicht in diesem Buche zu ihrem Rechte kommt. Das ausführliche Literaturverzeichnis am Ende ist dafür ein beredtes Zeugnis. Das Werk ist kein Lehrbuch; es setzt eine moderne analytische Vorbildung, Kenntnis des \textit{Lebesgue}schen Integralbegriffes und Vertrautheit mit mengentheoretischen Methoden voraus. Die Darstellung ist oft sehr knapp, aber stets scharf und verständlich. Nur auf diese Weise konnte es dem Verf. gelingen, den gewaltigen Stoff in den Rahmen eines Buches einzufangen. Daß eine Reihe oft wichtiger Beispiele und Ergebnisse ohne Beweise nur in den Anhängen zu den einzelnen Kapiteln untergebracht sind, war wohl aus gleichem Grunde kaum zu vermeiden. Eine gewisse subjektive Geschmacksrichtung des Verf., die auf die mehr ``abstrakten'' Teile der Theorie gerichtet ist, hat dabei sicherlich eine Rolle gespielt. Überhaupt kommen die elementaren Teile und Beispiele etwas kurz weg. Dies ist aber vielleicht kein Nachteil, da es ja hierfür genügend viele gute und leicht lesbare Darstellungen gibt. Die Gliederung des Buches und der einzelnen Teile in sich ist sehr klar. Der Inhalt der einzelnen Kapitel kann im folgenden nur in großen Umrissen geschildert werden. Kapitel I (Trigonometrische Reihen und Fouriersche Reihen): Elementare Konvergenzkriterien für trigonometrische Reihen mittels \textit{Abel}scher Summierung. \textit{Fourier}reihen in bezug auf ein Orthogonalsystem (\textit{Rademacher}s Funktionen). Bei den trigonometrischen \textit{Fourier}reihen wird der \textit{Lebesgue}sche Integralbegriff zugrunde gelegt; daneben werden auch \textit{Fourier-Stieltjes}reihen betrachtet, deren Koeffizienten durch \textit{Stieltjes}integrale erklärt sind. \textit{Lebesgue}s Beweis für die ''Vollständigkeit'' des trigonometrischen Systems (bei vielen Autoren ``Abgeschlossenheit'' genannt), Minimumeigenschaft der Abschnitte und \textit{Bessel}sche Ungleichung. Kapitel II (Fourierkoeffizienten, Konvergenzkriterien): Formale Operationen an \textit{Fourier}reihen. Abschätzung der \textit{Fourier}koeffizienten durch den Stetigkeitsmodul. \textit{Riemann-Lebesgue}s Satz, daß die \textit{Fourier}koeffizienten Nullfolgen bilden. Nachweis, daß dieser Satz falsch ist, wenn man das (uneigentliche) \textit{Riemann}sche Integral zugrunde legt. Die Konvergenzkriterien für die \textit{Fourier}reihe und ihre konjugierte Reihe (auch bezüglich gleichmäßiger Konvergenz; \textit{Dini-Lipschitz, Dirichlet, de la-Vallée Poussin, Lebesgue, Young, Hardy-Littlewood}). Vergleich der Kriterien. \textit{Riemann}s Lokalisationssatz mit Ergänzung von \textit{Steinhaus}. Divergenz der konjugierten Reihe an Sprungstellen (\textit{Pringsheim}) und Sprungbestimmung (\textit{Lukács}). Größenordnung der Abschnitte. \textit{Poisson}sche Summenformel. Kapitel III (Summierung Fourierscher Reihen): \textit{Toeplitz}schex Satz über lineare Mittelbildungen. Die \textit{Cesàro}schen \((C, \alpha)\)-Verfahren für \(\alpha > -1\). Das \textit{Abel}sche \(A\)-Verfahren (\textit{Poisson}sches Verfahren). \textit{Fejér}s Sätze über die \((C, 1)\)-Mittel, Verschärfung von \textit{Lebesgue-Hardy} für die \((C, r)\)-Mittel, \(r > 0\). Analoga bei der konjugierten Reihe, \textit{Abel}summierbarkeit der \textit{Fourier}reihe. \textit{Abel}- und \textit{Cesàro}-Summierbarkeit der differenzierten Reihe (\textit{Fatou-Lebesgue}). Konvergenz der Reihen \(\sum\limits_{k=2}^\infty \dfrac{ a_k {\cos\atop\sin} kx \pm b_k {\sin\atop\cos} kx}{\log k}\) (\textit{Hardy, Plessner}). \textit{Cesàro}-Summierbarkeit bei \textit{Fourier-Stieltjes}-Reihen. Kapitel IV (Funktionenklassen und Fourierreihen): Ungleichungen von \textit{Young, Hölder, Minkowski} und \textit{Jensen}. Konvergenz im Mittel, Vollständigkeit (im \textit{Hausdorff}schen Sinne) des Funktionenraumes der Klasse \(L^r\), \(r \geqq 1\). Der \textit{Fischer-Riesz}sche Satz. Die ``Abgeschlossenheit'' des trigonometrischen Systems (Klasse \(L^2\)) (bei vielen Autoren ``Vollständigkeit'' genannt!). Die \textit{Parseval}sche Relation. Kennzeichnung der \textit{Fourier}reihen und \textit{Fourier-Stieltjes}reihen, sowie gewisser Unterklassen aus den \((C, 1)\)-Mitteln und den \textit{Abel}schen Mitteln. Komplementäre Funktionen (\textit{Parseval}sche Formeln; \textit{Young, Orlicz}). Der Satz von \textit{Banach-Steinhaus} über lineare Funktional-Operationen. Transformationen von \textit{Fourier}reihen verschiedener Klassen untereinander. Kapitel V (Eigenschaften einiger spezieller Reihen): Cosinus- und Sinusreihen mit konvexen bzw. monotonen Koeffizientenfolgen. Asymptotisches Verhalten solcher Reihen bei \(x\to 0\). Die Potenzreihen \(\sum\limits_{n=1}^\infty e^{i c n \log n} \dfrac{z^n}{n^{\tfrac 12 +\alpha}}\) (\textit{Hardy-Littlewood}). Über die Konvergenz der Quadratsumme der Koeffizienten bei ``Lückenreihen''. Übertragung auf das \textit{Rademacher}sche System. Kapitel VI (Die absolute Konvergenz trigonometrischer Reihen): Der Satz von \textit{Lusin-Denjoy}. Absolute Konvergenz bei Cosinus- und Sinusreihen, deren Koeffizientenbeträge monotone Nullfolgen bilden (\textit{Fatou}). Symmetrieeigenschaften der Mengen gewöhnlicher und absoluter Konvergenz. Absolute Konvergenz bei \textit{Lipschitz}-Klassen (\textit{Bernstein-Zygmund}). Absolute Konvergenz bei Lückenreihen (\textit{Szidon}). Ein Lokalisationssatz von \textit{Wiener}. Kapitel VII (Konjugierte Reihen und komplexe Methoden in der Theorie der Fourierreihen): \textit{Cesàro}- und \textit{Abel}summierbarkeit der konjugierten Reihe, Existenz der konjugierten Funktion. Untersuchungen, wann die konjugierte Reihe eine \textit{Fourier}reihe ist [\textit{M. Riesz} (Klasse \(L^p\), \(p > 1\)), \textit{Privaloff} (\textit{Lipschitz}klassen)]. Potenzreihen beschränkter Schwankung (\textit{Hardy-Littlewood, F.} und \textit{M. Riesz}). Kapitel VIII (Divergenz Fourierscher Reihen, Gibbssche Erscheinung): Die \textit{Fejér}sche Methode zur Konstruktion divergenter \textit{Fourier}reihen stetiger Funktionen (\textit{Du Bois-Reymond-} und \textit{Lebesgue}sche Singularitäten). Die Schärfe der Kriterien von \textit{Dini-Lipschitz}. \textit{Lebesgue}sche Konstanten. \textit{Kolmogoroff}s Beispiel einer überall divergenten \textit{Fourier}reihe. Die \textit{Gibbs}sche Erscheinung. Abschnittskoppelungen. Die \textit{Cramér}sche Konstante. Kapitel IX (Weitere Sätze über Fourierkoeffizienten, Integration gebrochener Ordnung): Die \textit{Parseval}sche Relation und der \textit{Fischer-Riesz}sche \textit{Satz} bei der Klasse \(L^p\) (Sätze von \textit{Hausdorff} und \textit{Young}, Verallgemeinerung von \textit{F. Riesz}). Die Konvexitätssätze von \textit{M. Riesz} (Anwendung zum Beweis der obigen Sätze). Ungleichungen von \textit{Paley} und Kriterien von \textit{Hardy-Littlewood} in gleicher Richtung, Sätze von \textit{Banach} über Lückenreihen (Kriterien für \textit{Fourier}reihen gewisser Klassen). \textit{Wiener}s Kriterium für stetige Funktionen beschränkter Schwankung. Integrale gebrochener Ordnung für \textit{Lipschitz}klassen und die Klassen \(L^p\) (\textit{Hardy-Littlewood}). Kapitel X (Weitere Sätze über Summierbarkeit und Konvergenz von \textit{Fourier}reihen): Starke Konvergenz im Mittel (Verallgemeinerung von \textit{Fejér}s Sätzen). Integralungleichungen von \textit{Hardy-Littlewood}. Der Satz von \textit{Kolmogoroff} über die Konvergenz von Luckenfolgen der Abschnitte. Konvergenz von \(\sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{a_n \cos\, nx + b_n \sin\, nx} {(\log n)^{\tfrac 1r}}\) für die Klasse \(L^r\), \(1 < r \leqq 2\). Das Kriterium von \textit{Hardy-Littlewood} für \(C\)-Summierbarkeit. Kapitel XI (Riemanns Theorie der trigonometrischen Reihen): Der Satz von \textit{Cantor-Lebesgue}. Das \textit{Riemann}sche Verfahren. Das \textit{Lebesgue}sche Verfahren (Sätze von \textit{Fatou}). Die Eindeutigkeitssätze von \textit{Cantor, Du Bois-Reymond} und \textit{de la Vallée-Poussin}. Formale Multiplikation trigonometrischer Reihen (\textit{Rajchman}). \textit{Riemann}s Lokalisationsprinzip. Der Satz von \textit{Fatou} über Potenzreihen, deren Koeffizienten Nullfolgen bilden. Feinere Untersuchungen über Eindeutigkeits- und Vielfachheitsmengen (\textit{Rajchman, Zygmund}). Kapitel XII (Fourierintegrale): \textit{Fourier}s einfaches Integral und Doppelintegral. Kriterien für Konvergenz und Summierbarkeit. Die Sätze von \textit{Plancherel} über \textit{Fourier}transformierte. Besprechung: K. Borsuk, Wiadom. mat. 41, 127-137; L. Tonelli, Periodico di Mat. (4) 15, 193-194. \ \ (IV 7 B, C.)