Notes on the theory of series. XIX: A problem concerning majorants of Fourier series. (Q2611930)

\(f(\vartheta)\) sei eine komplexe, \(L\)-integrierbare Funktion der reellen Variablen \(\vartheta\) von der Periode \(2\pi\) und mit den \textit{Fourier}koeffizienten \(c_m\). Die trigonometrische Reihe \(\sum\limits_{-\infty}^\infty C_m e^{m i \vartheta}\) heißt eine Majorante der \textit{Fourier}reihe von \(f\), wenn \(|c_m| \leqq C_m\) ist. Ist diese Majorante selbst eine \textit{Fourier}reihe einer Funktion \(F\), so heißt \(F\) Majorante von \(f\). Es werde nun \(r > 1\) und \(r^\prime = \dfrac{r}{r-1}\) gesetzt. Es handelt sich um die Beziehung zwischen \[ I_r(f) = \left(\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi |f|^r \, d\vartheta\right)^{\tfrac 1r} \] und \(I_r(F)\). Für \(r = 2k\), \(k \geqq 1\) ganz, findet man leicht \[ I_{2k}(f) \leqq I_{2k}(F), \] dagegen ist diese Ungleichung für allgemeines \(r = q > 2\) falsch. Ob immer eine Ungleichung \[ I_q(f) \leqq A_q I_q(F), \qquad q \geqq 2, \tag{*} \] gilt, bleibt unerledigt. Dagegen wird der folgende Satz bewiesen: Wenn (*) für ein festes \(q\), alle \(f\) und alle Majoranten \(F\) gilt, so gilt das ``schiefsymmetrische'' Gegenstück \[ I_{q^\prime}(F) \leqq A_{q^\prime} I_{q^\prime}(f) \tag{**} \] für alle \(f\) und geeignete Majoranten \(F\) (also z. B. im Falle \(q^\prime = \dfrac{2k}{2k - 1}\)). Die eigenartigen Schwierigkeiten des Problems liegen darin, daß \(F\) selbst im Falle \(|c_m| = C_m\) kein lineares Funktional von \(f\) zu sein braucht, so daß die \textit{M. Riesz}schen Konvexitätssätze nicht anwendbar sind. In einem Anhang werden ähnliche Fragen für trigonometrische Polynome behandelt.