Notes on the convergence of series. XVIII: On the convergence of Fourier series. (Q2611945)

Die \(L\)-integrierbare Funktion \(f(\vartheta)\) der Periode \(2\pi\) habe die komplexen \textit{Fourier}koeffizienten \(c_n.\;c_n^+\) bezeichne die Zahlen \(|c_n|\), so angeordnet, daß \[ c_0^+\geqq c^+_{-1}\geqq c_1^+\geqq c^+_{-2}\geqq c_2^+\geqq\cdots \] wird. Satz I: \(|f(\vartheta)|\log^+|f(\vartheta)|\) sei integrierbar. Dann konvergieren die Reihen \[ \sum_{-\infty}^\infty\frac{c_n^+}{|n|+1}\quad\text{und}\quad \sum_{-\infty}^\infty e^{-\tfrac{a}{|c_n|}},\quad a>0. \] Der Beweis beruht wesentlich auf einer Ungleichung von \textit{Gabriel} (Proc. London Math. Soc. (2) 33 (1931), 32-51; F. d. M. \(57_{\text I}\), 315) über die Teilsummen der umgeordneten \textit{Fourier}reihe. Satz II: Es sei \(f(\vartheta)\sim\dfrac{a_0}2+ \sum\limits_1^\infty a_n\cos n\vartheta\); \(s_\nu^*=s_\nu^*(n)\), \(0\leqq\nu\leqq n\), bezeichnen die ersten \(n+1\) Abschnitte der \textit{Fourier}reihe in \(\vartheta=0\), nach abnehmenden Beträgen geordnet. Ist dann für kleine \(\vartheta\) \[ f(\vartheta)=o\left(\log\frac1\theta\right)^{-1}, \tag{*} \] so ist \(\sum\limits_0^n\dfrac{s_\nu^*}{\nu+1}=o(\log n)\). Aus Satz II folgt dann die Verschärfung eines früheren Theorems der Verf. (Note XVII, Journ. London Math. Soc. 7 (1932), 252-256; F. d. M. 58), nämlich: Satz III: Ist unter der Voraussetzung (*) noch für ein \(A>0\), \(\zeta> 0\) \[ a_n>- An^{-\zeta}, \] so ist die \textit{Fourier}reihe in \(\vartheta = 0\) zum Werte 0 konvergent.