Remarks on some points in the theory of divergent series. (Q2611946)

\(f (x)\) sei für \(|x|\leqq\pi\) analytisch und ungerade, in \((-\pi, \pi)\) gelte \[ f(x) =\sum_1^\infty b_n\sin nx. \] \textit{Fourier} in seiner ``Théorie de la chaleur'' schließt, indem er die sin \(nx\) in Potenzreihen entwickelt und die so entstehende Potenzreihe mit der \textit{Taylor}schen Reihe für \(f(x)\) vergleicht, zunächst die Gleichungen \[ \sum_1^\infty n^{2h+1}b_n=(-1)^hf^{(2h+1)}(0)\qquad (h=0,1,2,\ldots) \tag{1} \] und hieraus \[ \frac12\pi b_n=\frac{(-1)^{n-1}}n\left\{ f(\pi)-\frac{f''(\pi)}{n^2}+\frac{f'''(\pi)}{n^4}-+\cdots\right\}. \tag{2} \] \textit{Fourier}s Herleitung ist rein formal; Verf. untersucht die Gültigkeit obiger Formeln. Zunächst ist (2) jedenfalls als asymptotische Entwicklung richtig. Wenn \(f(x) = f(\xi+ i\eta)\) eine ganze Funktion ist, die für \(|\xi|\leqq\pi\), \(\eta\geqq 0\) einer Ungleichung \(|f(x)|<Ae^{B|x|}\) genügt, so ist (2), wenn man die Reihe rechts \textit{Borel} (\(B\)-)summiert, für große \(n\), und wenn \(B<1\) ist, für alle \(n\) richtig. Ersetzt man das \(B\)-Verfahren durch das iterierte \textit{Borel}sche (\(B^2\)-) Verfahren, so darf \(f(x)\) auf der reellen Achse Singularitäten \(x^*\), \(|x^*| >\pi\), besitzen. Die Formeln (1) sind \((C, 2h + 1)\)-, \textit{Abel}- und \textit{Borel}-summiert richtig. Für die \textit{Abel}-Summierung wird ein sehr einfacher Beweis gegeben. Im Anschluß werden allgemeiner Reihen der Form \[ y(x)=\sum_{-\infty}^\infty a^r\varPhi^{(r)}(x)= \sum_{-\infty}^\infty b^{-r}\varPhi^{(r)}(x)\quad \left(b=\frac1a\right) \tag{3} \] untersucht. Für r \(< 0\) bedeutet \(\varPhi^{(r)}(x)\) das \(r\)-te ``\textit{Riemann-Liouville}sche'' Integral von \(\varPhi(t)\). Durch gliedweises Differenzieren findet man formal die Formel \[ y(x) = Ce^{bx},\quad C = b \int\limits_0^\infty e^{-bt}\varPhi(t) dt. \tag{4} \] Wenn etwa \(a > 0\), \(x > 0\) ist und \(\varPhi(\xi+ i\eta)\) für \(\xi> 0\) regulär ist, so wird die Gültigkeit von (4), die Reihe (3) \(B^2\)-summiert, bewiesen, vorausgesetzt, daß das Integral für \(C\) existiert. Als Beispiel wird die \textit{Heaviside}sche Formel \[ \sum_{-\infty}^\infty a^r\frac{x^{c-r}}{\varGamma(c-r)}=a^c e^{\tfrac xa}, \quad \mathfrak R\left(\frac xa\right)>0, \] hergeleitet und auf asymptotisches Verhalten hin untersucht. Der letzte Teil der Arbeit behandelt die Wirkung verschiedener Summierungsverfahren bei \textit{Fourier}schen Reihen. Das \textit{Abel}sche und das \textit{Weierstraß}sche (\(W\)-) Verfahren sind nicht miteinander vergleichbar. Wenn \(f(t)\) für \(t=x\) in (irgendeinem) \(k\)-ten Integralmittel den Wert \(s\) hat, so ist die \textit{Fourier}sche Reihe von \(f\) in \(x\) \(W\)-summierbar zum Werte \(s\). Das \textit{Weierstraß}sche und das \textit{de la Vallée-Poussin}sche Verfahren sind bei \textit{Fourier}reihen äquivalent. Dagegen braucht das \textit{Borel}sche Verfahren nicht einmal an Stetigkeitsstellen wirksam zu sein. Ist aber \[ \varPhi(t)=f(x+t)+f(x-t)-2s=o\left(\log\frac1t\right)^{-1} \qquad (t\to 0), \] so ist die \textit{Fourier}sche Reihe von \(f\) in \(x\) \(B\)-summierbar zum Werte \(s\).