Über die arithmetischen Mittel der Fourierreihe. (Q2611948)

Es sei \[ f(x)\sim b_1\sin x+b_2 \sin 2x+\cdots \] in \(\langle 0,\pi\rangle\) nicht negativ und von oben konvex. In Verallgemeinerung der Ergebnisse von \textit{Koschmieder} (Monatsh, für Math. 39 (1932), 321-344; F. d. M. 58) und \textit{Fejér} (Z. f. angew. Math. 13 (1933), 80-88; JFM 59.0298.*) wird für die \((C,k)\)-Mittel \(S_n^{(k)}(x)\) obiger Sinusreihe die Ungleichung \[ f(x)\geqq S_n^{(1)}(x)>S_n^{(2)}(x)>\cdots>0 \qquad (0<x<\pi) \] bewiesen. Die arithmetischen Mittel erster Ordnung konvergieren also schneller als die höherer Ordnung, ein recht bemerkenswertes Ergebnis. Der Beweis beruht auf der Positivität der Polynome \[ \varPhi_n^{(k)}(x)\equiv \sum_{\nu=1}^n \binom{n+k-\nu}k\sin \nu x \] in \((0,\pi)\). Der Satz wird erst für ``Dachfunktionen'' und dann in bekannter Weise allgemein bewiesen.