The strong summability of Fourier series. (Q2611950)

Es sei \(r>1\) und \(f(t)\) eine periodische Funktion der Klasse \(L^r\), \[ f(t)\sim\frac{a_0}2+\sum_1^\infty (a_n\cos nt+b_n\sin nt)\equiv \sum_0^\infty A_n(t) \] ihre \textit{Fourier}reihe. Verf. haben früher bewiesen (Proc. Lond. Math. Soc. (2) 26 (1927), 273-286; F. d. M. 53, 247 (JFM 53.0247.*)), daß aus \[ \int\limits_0^t |\varphi(x,u)|^rdu=o(t),\quad \varphi(x,t)=\tfrac12\{f(x+t)+f(x-t)-2s\}, \] die ``starke'' Summierbarkeit der \textit{Fourier}reihe in \(t=x\) zum Werte \(s\) (für jeden Index \(k>0\)) folgt, d. h. \[ \frac1{n+1}\sum_0^n|s_\nu-s|^k\to 0 \;\text{mit} \;s_n=\sum_0^n A_\nu. \] Es wird nunmehr zunächst gezeigt, daß dieser Satz für \(r=1\) falsch wird. Ist genauer \(\chi(n) = o (\sqrt{\log n})\), so gibt es eine \textit{Fourier}reihe mit \(\int\limits_0^t |\varphi(x,u)|du=o(t)\), für die sogar \[ \sum_0^n|s_\nu-s|^k\neq o(n\chi^k) \] ist. Andererseits zeigen die Verf., daß auch im Falle \(r=1\) die Relation \[ \sum_0^n|s_\nu-s|^k=o\left(n(\log n)^{\tfrac k2}\right),\quad k\leqq 2, \] richtig bleibt. \(\sqrt{\log n}\) ist also bei diesem Problem die ``wahre'' Größenordnung.