On the termwise differentiated Legendre series. (Q2611973)

Es sei \(f(x)\) eine in \(\langle - 1, + 1\rangle\) integrable Funktion und \[ f(x)\sim\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu P_\nu(x) \;\text{mit} \;a_\nu=\frac{2\nu+1}2\int\limits_{-1}^{+1} f(t)P_\nu(t)dt, \] wo \(P_\nu (x)\) das \(\nu\)-te \textit{Legendre}sche Polynom bedeutet, die zugehörige \textit{Legendre}sche Reihe. Verf. beschäftigt sich mit der Frage der \((C, 1)\)-Summierbarkeit der aus der vorstehenden durch gliedweise Differentiation entstehenden Reihe und findet: Existiert für eine Stelle \(x=\xi\) aus \((-1, +1)\) das Integral \(\int\limits_{-1}^{+1} \left|\dfrac{f(x)-f(\xi)}{(1-x^2)^{\frac12}(x-\xi)}\right|dx\), so ist an dieser Stelle die gliedweise differenzierte \textit{Legendre}sche Reihe von \(f(x)\) genau dann \((C,1)\)-summierbar, wenn die gliedweise differenzierte \textit{Fourier}reihe der Funktion \(f(\cos r)\cdot\sqrt{|\sin\tau|}\) an der Stelle \(\tau = \varTheta\) mit \(\xi = \cos\varTheta\) ebenfalls \((C,1)\)-summierbar ist. Der Beweis stützt sich auf die bekannte asymptotische Darstellung der \textit{Legendre}schen Polynome: \[ \begin{multlined} P_n(\cos\varTheta)=\frac{\varGamma(n+1)}{\varGamma\left(n+\dfrac32\right)} \left(\frac2{\pi\sin\varTheta}\right)^{\frac12}\\ \left\{\cos\left[\left(n+\dfrac12\right)\varTheta-\dfrac{\pi}4\right]+ \frac{1}{2(2n+3)}\frac{\cos\left[\left(n+\dfrac 32\right)\varTheta\dfrac{3\pi}4\right]}{2\sin\varTheta}\right\}+p_n(\varTheta) \end{multlined} \] mit \[ p_n(\varTheta)=O\left(\frac1{n^{\frac52}}\right),\quad p_n'(\varTheta)=O\left(\frac1{n^{\frac32}}\right),\quad (0<\varTheta<\pi). \]