Über die Konvergenz der Reihen von Didon und Appell. (Q2611982)

Verf. zeigt im engen Anschluß an eine frühere Arbeit (Math. Ann. 104 (1931), 387-402; F. d. M. \(57_{\text I}\), 308), welche Bedeutung das Verhalten der \textit{Gegenbauer}schen Reihe für die Konvergenz der \textit{Didon}schen und \textit{Appell}schen Reihen hat. Setzt man zunächst \[ \begin{aligned} &\int\limits_H^{(n)}f(Q)\sin^{n-1}\tau_2\sin^{n-2}\tau_3\ldots \sin\tau_n d\tau_2 d\tau_3\ldots d\tau_n d\psi\\ &=\int\limits_H^{(n)}\sin^{n-1}\tau_2\sin^{n-2}\tau_3\ldots \sin\tau_n d\tau_2 d\tau_3\ldots d\tau_n d\psi\cdot\varPsi(\tau_1) \end{aligned} \] (dabei ist \(Q\) ein Punkt der Überkugel, und \(\tau_1,\ldots,\tau_n\) sind seine Polarkoordinaten) und weiter \(\varPsi(\tau_1)=\varPhi(\sigma)\) mit \(\sigma = \cos\tau_1\), so gilt: Wird \(\varPhi(\sigma)\) am Punkte 1 durch seine \textit{Gegenbauer}sche Reihe dargestellt, und ist \(f\) eine eindeutige Funktion des Ortes, so stellt die \textit{Laplace}sche Reihe, die zu \(f\) im Punkte \(P\) gebildet wird, den Funktionswert \(f(P)\) dar. Geht man von den \(\tau_i\) zu rechtwinkligen Koordinaten und damit von \(f(Q)\) zu \(F(\mathfrak Q)\) über, so kann man die \textit{Laplace}sche Reihe in eine \textit{Didon}sche überführen. Man erhält dann den Satz: Wird an der Stelle \(t=1\) der Wert der Funktion \[ \varPhi(t)=\frac{\varGamma\left(\dfrac{n+1}2\right)}{\pi^{\tfrac{n-1}2}}\cdot \int\limits_0^\pi\sin^{n-1}\tau_2d\tau_2\ldots \int\limits_0^\pi\sin\tau_n F(\mathfrak Q) d\tau_n \] \((t=\cos\tau _1)\) durch die zu \(\varPhi(t)\) gehörende \textit{Gegenbauer}sche Entwicklung dargestellt, so stellen die zu \(F\) für den Punkt \(\mathfrak P\) gebildeten \textit{Didon}schen Reihen den Funktionswert \(F(\mathfrak P)\) dar. -- Entsprechendes folgt für die \textit{Appell}schen Reihen aus ihrem Zusammenhang mit den \textit{Didon}schen.