An introduction to the theory of functions of a complex variable. (Q2612007)

Ein Lehrbuch der Funktionentheorie, hervorgegangen aus Vorlesungen des Verf. an den Universitäten Edinburgh und St. Andrews, das vom Leser nur die Kenntnis der Grundzüge der Theorie der Analysis im Reellen voraussetzt. Das Buch führt den Leser weit über die Anfangsgründe der Funktionentheorie hinaus, allerdings nicht in Richtung des modernen Ausbaues der allgemeinen Theorie, sondern der Theorie spezieller Funktionen, von denen neben der \(\varGamma\)-Funktion und den elliptischen Funktionen die hypergeometrischen, \textit{Legendre}schen und \textit{Bessel}schen Funktionen, deren Studium sich in England ja großer Beliebtheit erfreut, eingehend behandelt werden. Die Darstellung beginnt (Kap. I: Complex numbers) mit der Einführung der komplexen Zahlen. Ausgehend von der Ähnlichkeitstransformation \[ x' = ax-by,\quad y' = bx+ay \] mit reellen Koeffizienten \(a\), \(b\), erklärt Verf. eine komplexe Zahl durch die Matrix \(\begin{pmatrix} \r \;& \r\\ a & b\\ -b & a \end{pmatrix}\) und das Rechnen mit den komplexen Zahlen durch die analogen Rechenoperationen für diese Matrizen. Auch die geometrische Deutung in der Ebene der komplexen Zahlen, die Verf. nicht an den Namen von \textit{Caspar Wessel} oder \textit{Gauß}, sondern an den von \textit{Argand} knüpft, wird gegeben. In Kap. II (The convergence of infinite series) spricht Verf. zunächst über Punktmengen in der \textit{Gauß}schen Ebene: der \textit{Jordan}sche Kurvensatz wird ohne Beweis angeführt, als Beweis nur der von \textit{Winternitz} (Math. Z. 1 (1918), 329-340; F. d. M. 46, 830 (JFM 46.0830.*)) genannt, der dem Verf. -- was doch nicht unerwähnt bleiben soll -- der einfachste zu sein scheint. Sodann werden hier die Anfangsgründe der Theorie der unendlichen Reihen mit konstanten komplexen Gliedern erörtert, unter anderm die \textit{Dedekind}sche Bedingung für nicht absolute Konvergenz und einiges über Doppelreihen. Kap. III (Functions of a complex variable) bringt den Begriff der analytischen Funktion als den einer differenzierbaren Funktion, Konvergenz und Differenzierbarkeit einer Potenzreihe sowie die elementaren Funktionen. Kap. IV (Cauchy's theorem) führt bereits tiefer in die Theorie hinein: Neben dem \textit{Cauchy}schen Integralsatz -in der vorbereitenden Fassung des Satzes fehlt der Zusatz, daß das Regularitätsgebiet \(D\) der Funktion \(f(z)\) einfach zusammenhängend sein muß, damit das Integral von \(f(z)\) längs jeder einfachen geschlossenen, streckbaren, in \(D\) gelegenen Kurve Null ist; doch wird im folgenden Paragraphen der Satz korrekt ausgesprochen und (nach \textit{Goursat}) bewiesen -- die \textit{Cauchy}schen Integralformeln, der \textit{Morera}sche Satz, die Entwicklung einer analytischen Funktion in eine Potenzreihe, die Laurentsche Reihe, die Sätze über das Verhalten in der Umgebung einer isolierten singulären Stelle und die analytische Fortsetzung. Der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz tritt erst im nächsten Kapitel (V: Uniform convergence) auf. Neben den üblichen Sätzen über unendliche Reihen und Produkte findet man hier hinreichende Bedingungen für gleichmäßige Konvergenz einer Reihe, die den Bedingungen von \textit{Abel, Dirichlet} und \textit{Dedekind} für nicht absolute Konvergenz analog sind (vgl. \textit{G. H. Hardy}, Proc. London Math. Soc. (2) 4 (1906), 247-265; F. d. M. 37, 429 (JFM 37.0429.*)), ferner Sätze über die Darstellung einer analytischen Funktion durch ein bestimmtes oder ein uneigentliches Integral. Das Kap. VI (The calculus of residues) bringt die Residuenrechnung mit vielen Anwendungen auf die Auswertung bestimmter Integrale, Kap. VII (Integral functions) die Theorie der ganzen Funktionen, neben dem \textit{Weierstraß}schen Produktsatz neuere Ergebnisse über ganze Funktionen endlicher Ordnung. In Kap. VIII (Conformal representation) wird der \textit{Riemann}sche Abbildungssatz ohne Beweis angegeben; neben elementaren Abbildungen findet man hier die \textit{Schwarz-Christoffel}sche Abbildung des Innern eines geschlossenen ebenen einfachen Polygons auf das Innere des Einheitskreises. Soweit die allgemeine Theorie. In den folgenden Kapiteln kommt nun die Theorie spezieller Funktionen zu Wort. In Kap. IX zunächst die \(\varGamma\)-Funktion, für die auch die Stirlingsche Formel hergeleitet wird, in Kap. X die hypergeometrischen Funktionen. Nach allgemeinen Betrachtungen über die durch eine lineare Differentialgleichung mit analytischen Funktionen als Koeffizienten erklärten analytischen Funktionen führt Verf. durch die hypergeometrische Differentialgleichung \[ \vartheta(\vartheta+c-1)w=z(\vartheta+a)(\vartheta+b)w, \] in der \(\vartheta\) den Operator \(z\dfrac{d}{dx}\) bedeutet, die hypergeometrische Funktion \(F(a,b,c;z)\) ein, später durch die allgemeinere Gleichung \[ \vartheta(\vartheta+\varrho_1-1)\ldots(\vartheta+\varrho_q-1)w= z(\vartheta+a_1)\ldots(\varrho+\alpha_p)w \] die allgemeine hypergeometrische Funktion \[ {}_pF_q(\alpha_1,\ldots,\alpha_p;\varrho_1,\ldots,\varrho_q; z). \] Im folgenden Kap. (XI: Legendre functions) werden zunächst die \textit{Legendre}schen Polynome \(P_n(z)\), die \textit{Legendre}schen Funktionen \(Q_n (z)\) zweiter Art, schließlich durch die Differentialgleichung \[ (1-2z^2)\frac{dw}{dz}-2z\frac{dw}{dz}+\left[n(n+1)-\frac{m^2}{1-z^2}\right]w=0 \tag{*} \] mit ganzen Zahlen \(n\geqq m\geqq 0\) die assoziierten \textit{Legendre}schen Funktionen \[ P_n^m(z)=(z^2-1)^{\tfrac m2}\frac{d^mP_n(z)}{dz^m},\quad Q_n^m(z)=(z^2-1)^{\tfrac m2}\frac{d^mQ_n(z)}{dz^m} \] erklärt und ausführlich besprochen; für die Untersuchung der Lösungen der Gleichung (*) bei beliebigen komplexen Zahlen \(m\), \(n\) verweist Verf. auf das Buch von \textit{E. W. Hobson}, The theory of spherical and ellipsoidal harmonics (1931; F. d. M. \(57_{\text I}\), 405). Kap. XII hat die Besselschen Funktionen zum Gegenstand. Den Ausgangspunkt bildet die Differentialgleichung \[ z^2\frac{d^2w}{dz^2}+z\frac{dw}{dz}+(z^2-\nu^2)w=0 \] (\(\nu =\) const). Es werden folgende Funktionen eingehend behandelt: Die \textit{Bessel}sche Funktion erster Art \[ J_\nu(z)=\left(\frac z2\right)^\nu \sum_{r=0}^\infty\frac{(-1)^r}{r!} \frac{\left(\dfrac z2\right)^{2r}}{\varGamma(\nu+r+1)}, \] die \textit{Hankel}schen Funktionen oder Besselschen Funktionen dritter Art \[ H_\nu^{(1)}(z)=\frac1{\pi i} \int\limits_{-\infty}^{\infty+\pi i} \exp(z\operatorname{sh} t-\nu t)dt,\quad H_\nu^{(2)}(z)=-\frac1{\pi i} \int\limits_{-\infty}^{\infty-\pi i} \exp(z\operatorname{sh} t-\nu t)dt \] und die \textit{Weber}sche Funktion oder \textit{Bessel}sche Funktion zweiter Art \[ Y_\nu(z) =\frac1{2i}(H^{(1)}_\nu(z)-H^{(2)}_\nu(z)). \] Für die Entwicklung einer analytischen Funktion in eine nach \textit{Bessel}schen Funktionen erster Art fortschreitende Reihe werden auch noch die in der Entwicklung \[ \frac1{t-z}=J_0(z)O_0(t)+2\sum_{n=1}^\infty J_n(z)O_n(t) \] auftretenden Polynome \(O_n(t)\) herangezogen, die Verf. nach \textit{C. Neumann} benennt. In den letzten drei Kapiteln des Buchs wird die Theorie der elliptischen Funktionen behandelt, und zwar in XIII die \textit{Weierstraß}sche, in XIV die \textit{Jacobi}sche, in XV die Modulfunktion mit Anwendung auf den Beweis des \textit{Picard}schen Satzes. Der \textit{Carathéo dory}sche Beweis für die \textit{Landau}sche Verallgemeinerung dieses Satzes bildet den Schluß der Darstellung. Jedem Kapitel hat Verf. neben Hinweisen auf das Schrifttum zahlreiche Übungsaufgaben beigegeben, um so den Leser zur Vertiefung des Stoffs anzuhalten. Daß die Theorie der meromorphen Funktionen in dem Buch ganz fehlt, wird vom Ref. bedauert; dennoch bleibt der Eindruck eines ausgezeichneten Werks bestehen. (IV 6 A, B, C.)