Das harmonische Maß von Punktmengen und seine Anwendung in der Funktionentheorie. (Q2612012)

Verf. berichtet hier über ein funktionentheoretisches Prinzip, das zahlreiche, bisher mehr oder weniger isoliert stehende Sätze zusammenzufassen gestattet. \(G\) sei ein Gebiet der \(z\)-Ebene, \(\varGamma\) sein Rand, \(\alpha\) eine Teilmenge von \(\varGamma\), \(\beta\) die Komplementärmenge. Unter dem harmonischen Maß von \(\alpha\) in bezug auf das Gebiet \(G\) in dem innern Punkt \(z\) wird diejenige in \(G\) beschränkte harmonische Funktion \(\omega(z, \alpha, G)\) verstanden, die auf \(\alpha\) die Randwerte 1, auf \(\beta\) die Randwerte 0 hat. Über \(\varGamma\), \(\alpha\), \(\beta\) werden dabei vorerst einschränkende Voraussetzungen gemacht, derart, daß die Existenz von \(\omega\) unmittelbar klar ist. \(\omega\) ist gegenüber konformer Abbildung invariant, wenn jedes seiner drei Argumente durch sein Bild (evtl. auf einer \textit{Riemann}schen Fläche) ersetzt wird. Das Prinzip vom harmonischen Maß besagt nun folgendes: \(w = w (z)\) sei eine in \(G = G_z\) erklärte eindeutige reguläre Funktion, deren Wertevorrat dem Gebiet \(G_w\) angehöre. Auf den Randbogen \(\alpha_z\) sei \(w\) stetig und nehme Werte aus einer abgeschlossenen Teilmenge \(H_w\) der abgeschlossenen Hülle von \(G_w\) an. Dann gilt für alle Punkte \(z\) aus \(G_z\), für die \(w(z)\) nach \(G^*_w\), dem Komplementärgebiet von \(H_w\) in bezug auf \(G_w\), fällt: \[ \omega(z,\alpha_z,G_z)\leqq \omega(w(z),\alpha_w,G^*_w). \tag{*} \] Dabei ist \(\alpha_w\) diejenige Teilmenge des Randes von \(G^*_w\), die zugleich zu \(H_w\) gehört. Der Satz ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Maximumprinzip für harmonische Funktionen. Er bedeutet offenbar eine Einschränkung für die mögliche Lage von \(w(z)\). Er enthält unmittelbar den Zwei-Konstanten-Satz, sowie das \textit{Schwarz}sche, das \textit{Julia}sche und das \textit{Löwner}sche Lemma. Weitere interessante Anwendungen (die nur angedeutet werden) ergeben sich, wenn man \(\alpha_z\) aus zwei Bogen bestehen läßt. Die Gültigkeit von (*) bedeutet dann eine Einschränkung für die Lage der Bogen \(\alpha_w\). Von Wichtigkeit für gewisse Anwendungen ist, daß man sich von den eingangs angedeuteten Einschränkungen über \(\varGamma\) und \(\alpha\) frei machen kann. Dies kann, wie bei der Aufstellung der \textit{Green}schen Funktion, mittels konformer Abbildung der einfach zusammenhängenden Überlagerungsfläche von \(G\) auf den Einheitskreis geschehen. Eine Menge von Randpunkten, die dabei im Sinne der Ränderzuordnung in eine Punktmenge vom \textit{Lebesgue}schen Maß Null übergeht, besitzt das harmonische Maß Null. Bedeutungsvoll ist nun der Begriff von Punktmengen des absoluten harmonischen Maßes Null; das sind solche, die an jedem Bereich, dessen Rand bei jener Abbildung nicht überhaupt in eine Nullmenge übergeht, vom harmonischen Maße Null sind. Sie besitzen gleichzeitig die Kapazität Null. Mit Hilfe dieses Begriffes läßt sich beispielsweise eine interessante Verallgemeinerung des \textit{Liouville}schen und des \textit{Picard}schen Satzes formulieren, betreffend Funktionen, die in der Umgebung einer Punktmenge vom absoluten harmonischen Maß Null regulär und eindeutig sind. Zum Schluß geht Verf. knapp auf die Frage der Abschätzung des harmonischen Maßes aus der geometrischen Konfiguration ein. Hier lassen sich zahlreiche andere Untersuchungen einordnen, insbesondere \textit{A. Beurling}, Études sur un problème de majoration, Thèse Uppsala (1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\)) und Verf., Nachrichten Göttingen 1933, 103-115 (F. d. M. \(59_{\text I}\), 348). Doch sind das Fragen, die von Wichtigkeit mehr für die Anwendungen sind, während es Verf. hier in erster Linie auf das Herausarbeiten des Prinzipiellen zu tun ist.