Concerning integrals of moduli of regular functions along convex curves. (Q2612015)

\(f(z)\) sei regulär innerhalb und auf einer geschlossenen konvexen Kurve \(\varGamma\), \(C\) eine geschlossene konvexe Kurve im Innern. Dann gilt mit absoluter Konstante \(A\) für jedes \(\lambda\geqq 0\) \[ \int\limits_C|f^\lambda(z)| \;|dz|\leqq A\int\limits_\varGamma|f^\lambda(z)|\;|dz|. \] Das ist eine Vervollständigung eines Satzes aus einer früheren Arbeit des Verf. (Proc. London Math. Soc. (2) 28 (1928), 121-127; F. d. M. 54, 331 (JFM 54.0331.*)). Er wird zuerst für eingeschriebene Polygone \(C\) bewiesen, was eine eingehende Untersuchung der Größe \(\varLambda(C)=\int\limits_C |d\psi|\) erfordert, wo \(C\) eine Kurve in der \(Z\)-Ebene (\(\varGamma\) werde durch \(Z(z)\) auf \(|z|=1\) abgebildet) und \(\psi\) die Tangentenrichtung der Bildkurve von \(C\) in der \(z\)-Ebene bedeutet.