Interpolation in regulary distributed points. (Q2612039)

Es sei \(C\) eine geschlossene \textit{Jordan}sche Kurve, \(f(z)\) eine auf \(C\) definierte Funktion, und \[ L_n(z)=\sum_{k=1}^n\frac{f(z_k)}{z-z_k}\cdot\frac{\omega(z)}{\omega'(z_k)}, \quad \text{wo \(\omega(z)=\prod_{k=1}^n (z-z_k)\) ist}, \tag{*} \] das den Punkten \(z_1,z_2,\ldots, z_n\) von \(C\) und der Funktion \(f(z)\) entsprechende \textit{Lagrange}sche Interpolationspolynom. Die analytische Funktion \[ z=\varPhi(w)=cw+c_0+\frac{c_1}w+\frac{c_2}{w^2}+\cdots \] bilde das Äußere des Kreises \(|w|=1\) auf das Äußere der Kurve \(C\) umkehrbar eindeutig und konform ab. Nach \textit{L. Fejér} heißen die Punkte \(z_1,z_2,\ldots, z_n\) ``regelmäßig auf \(C\) verteilt'', wenn ihre Bildpunkte \(w_k=\varPhi^{-1}(z_k)\), \(k=1, 2,\ldots, n\), auf dem Kreise \(|w|=1\) ein regelmäßiges \(n\)-Eck bilden. -- Unter der Voraussetzung, daß in der Formel (*) die Punkte \(z_1, z_2,\ldots, z_n\) regelmäßig auf \(C\) verteilt sind, hat \textit{L. Fejér} die zwei folgenden Sätze bewiesen (Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math.-phys. Kl. 1918, 310 331; F. d. M. 46, 517 (JFM 46.0517.*)): I. Ist \(f(z)\) auf \(C\) und im Innern von \(C\) analytisch und regulär, so konvergiert die Folge \(\{ L_n (z)\}\) gleichmäßig in \(B + C\) gegen \(f(z)\) (\(B\) ist das Innere von \(C\)). II. Ist \(C\) ein Kreis \(\{|z| = r\}\) und ist \(f(z)\) regulär für \(|z|< r\) und stetig für \(|z|\leqq r\), so konvergiert die Folge \(\{L_n(z)\}\) im Bereiche \(|z|\leqq \varrho<r\) gleichmäßig gegen \(f(z)\). Verf. gibt einige Verallgemeinerungen dieser Sätze (eine andere Verallgemeinerung ist früher von Walsh gegeben worden (On polynomial interpolation to analytic functions with singularities, Bull. Amer. Math. Soc. 38 (1932), 290-291; F. d. M. 58). Er beweist folgendes: Ist (1) \(f(z)\) regulär auf \(C\) (und nicht notwendig im ganzen Inneren von \(C\)) und (2) erfüllt die Kurve \(C\) gewisse (nicht einfache) Bedingungen, so konvergiert \(\{L_n(z)\}\) im Inneren von \(C\) gegen die Funktion \[ f_1(z)=\dfrac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(t)}{t-z}dt. \] Die Bedingung (1) dieses Satzes kann durch die Existenz des \textit{Riemann}schen Integrals der Funktion \(f(z)\) auf \(C\) ersetzt werden, wenn man die Bedingung (2) passend verschärft. -- Es folgen einige Betrachtungen, die den Konvergenzgrad der Folge (*) und die gleichzeitige Interpolation mehrerer Funktionen betreffen.