Zetafunktionen quadratischer Formen. (Q2612060)

Für die Zetafunktionen definiter binärer quadratischer Formen mit negativer Diskriminante -- \(D\) wird eine Reihe von Sätzen (analog solchen für die gewöhnliche \(\zeta\)-Funktion) bewiesen, z.~B. Funktionalgleichung, Nullstellenformel. Das Verhalten dieser Funktionen \(\zeta\) in Abhängigkeit von \(D\) wird für große \(D\) untersucht. \(\zeta_Q(s)\) läßt sich durch \(\zeta(2s)\) (bezüglich \(D\)) approximieren. Es folgt z.~B. die Existenz einer Konstanten \(c\), so daß für \(0<t<D^c\) alle Nullstellen von \(\zeta_Q\) den Realteil \(\frac12\) haben. Analytisches Werkzeug ist die Abschätzung des Integrals \[ f(s,k,h)=\int\limits_{\frac12i-\infty}^{{\frac12i+\infty}} \frac{(1+z^2)^{-s}\,dz}{e^{-i(kz-h)}-1} \qquad (k>0,\text{ \(h\) reell}) \] für große \(k\).