La hiperconvergencia en las integrales de Laplace-Stieltjes. (Q2612067)

Das Integral von \textit{Laplace-Stieltjes} \[ f(s)=\int\limits_0^\infty e^{-\lambda s}\,d\{\alpha(\lambda)\}, \tag{1} \] wo \(\alpha(\lambda)\) in jedem beschränkten Intervall \(0\leqq\lambda\leqq\beta\) von beschränkter Schwankung ist, wird auf Überkonvergenz untersucht. Durch ein Beispiel wird belegt, daß dabei Arten von Überkonvergenz auftreten können, die sich bei \textit{Dirichlet}schen Reihen nicht finden. Verf. nennt dann mehrere Sätze folgender Art: Das Integral (1) habe die Konvergenzabszisse 0; weiter sei \[ d\{\alpha(\lambda)\}=0 \quad\text{für}\quad \lambda_{2k-1}\leqq\lambda<\lambda_{2k} \quad\text{und}\quad \lim_{k\to\infty}\frac{\lambda_{2k}}{\lambda_{2k-1}}=+\infty. \] Dann konvergiert die Reihe \[ \sum_{k=0}^\infty\left[\int\limits_{\lambda_{2k}}^{\lambda_{2k+1}} e^{-\lambda s}\,d\{\alpha(\lambda)\}\right]=\sum_kf_k(s) \] gleichmäßig in jedem beschränkten Bereich, der völlig im Innern des einfach zusammen\-hängenden Existenzgebiets von \(f(s)\) liegt.