A theorem concerning meromorphic functions of finite order. (Q2612076)

Verf. beweist in Erweiterung eines Satzes von \textit{J.~M.~Whittaker} (Proc. Edinburgh math. Soc. 2 (1930), 111-128; Quart. Journ. of Math. 2 (1931), 252-258. JFM 56.0274.*; 57\(_{\text{I}}\), 362) folgenden Satz (Bezeichnungen wie bei \textit{Nevanlinna}): Die meromorphe Funktion \(f(z)\) habe die endliche positive Ordnung \(\varrho\), es sei \[ T(r)=o\left(\frac{r^{\varrho'}}{\log r}\right), \quad \varrho'\geqq\varrho, \] und die Pole mögen den Defekt \(\delta>0\) haben, dann lassen sich eine Folge von Kreisen \(C_\nu\) mit den Mittelpunkten \(\xi_\nu\) und den Radien \(r_\nu\) mit \(\lim\limits_{\nu=\infty}|\xi_\nu|=\infty\), \(\lim\limits_{\nu=\infty}r_\nu |\xi_\nu|^{\frac12\varrho'-1}=\infty\) und eine entsprechende Folge \(\varepsilon_\nu>0\) mit \(\lim\limits_{\nu=\infty}\varepsilon_\nu=0\) angeben, so daß für alle \(z\) in \(C_\nu\) \(f(z)\) folgenden Ungleichungen genügt: \[ 1-\varepsilon_\nu<\frac{\log|f(z)|}{\log|f(\xi_\nu)|}<1+\varepsilon_\nu \quad\text{und}\quad \frac\delta e<\frac{\log|f(\xi_\nu)|}{T(|\xi_\nu|)}<|\xi_\nu|^{\varrho'}. \] Haben unter sonst gleichen Voraussetzungen die \(x\)-Stellen von \(f(z)\) den positiven Defekt \(\delta\) so liefert die Anwendung des Satzes auf \(\dfrac1{f(z)-x}\) unmittelbar die Aussage, daß es eine Folge von \textit{bestimmten} Kreisen \(C_\nu\) gibt, für die \[ |f(z)-x|\to 0 \quad\text{wie}\quad e^{-\frac\delta eT(|\xi_\nu|)}. \]