Some remarks on the coefficients of schlicht functions. (Q2612111)

\(\mathfrak S_k\) sei die Klasse der in \(|z|<1\) regulären und schlichten Funktionen der Form \[ f_k(z)=z+a_1^{(k)}z^{k+1}+a_2^{(k)}z^{2k+1}+\cdots= \sum_{\nu=0}^\infty a_\nu^{(k)}z^{\nu k+1} \qquad (a_0^{(k)}=1). \] Da \(\mathfrak S_k\) im Sinne von \textit{Montel} eine normale Familie bildet, so existiert \(\operatornamewithlimits{Max}_{f_k\in\mathfrak S_k}|a_n^{(k)}|=\alpha_n^{(k)}\). Es werden die bekannten Ergebnisse von \textit{Bieberbach}: \(\alpha_1^{(1)}=2\), \textit{Löwner}: \(\alpha_2^{(1)}=3\), \textit{Littlewood}: \(\alpha_n^{(1)}<e\cdot n\), \textit{Landau} (Math. Z. 30 (1929), 635-638; F.~d.~M. 55\(_{\text{I}}\), 187) \(\limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{\alpha_n^{(1)}}n\leqq \left(\dfrac12+\dfrac1\pi\right)e\) und \textit{Littlewood-Paley} (Journ. London Math. Soc. 7 (1932), 167-169; F.~d.~M. 58): \(\operatornamewithlimits{Obere Grenze} _{0\leqq n<\infty}\alpha_n^{(2)}=A<\infty\) mit \(A>1\), wie \textit{Fekete} und \textit{Szegö} (Journ. London Math. Soc. 8 (1933), 85-89; F.~d.~M. 59\(_{\text{II}}\)) bewiesen haben, erweitert. Verf. gibt Abschätzungen für \(\alpha_3^{(2)}\), \(\alpha_4^{(2)}\) bis \(\alpha_8^{(2)}\) und beweist dann, daß \centerline{\(A<2^{\frac14}\cdot3^{\frac12}\cdot e^{\frac12}=3{,}39\cdots\)} \noindent und \[ \limsup_{n\to\infty}\alpha_n^{(2)}\leqq 2^{-\frac34}\cdot3^{\frac12}\cdot e^{\frac12} \left\{ 1+\frac1{\sqrt\pi} \frac{\varGamma\left(\dfrac78\right)}{\varGamma\left(\dfrac{11}8\right)} \right\}^{\frac12} \cdot \left\{ 1+\frac1{\sqrt\pi} \frac{\varGamma\left(\dfrac58\right)}{\varGamma\left(\dfrac98\right)} \right\}^{\frac12} =3{,}006\cdots \] gilt. Für die Klasse \(\mathfrak S_k^s\) der schlichten Funktionen \(f_k(z)\), die \(|z|<1\) auf ein sternförmiges Gebiet in bezug auf den Nullpunkt abbilden, wobei \(\operatornamewithlimits{Max}_{f_k\in\mathfrak S_k^s}|a_n^{(k)}|=\beta_n^{(k)}\) gesetzt wird, werden die bekannten Ergebnisse \(\beta_n^{(1)}=n\), \(\beta_n^{(2)}=n\) durch die Beziehung \(\beta_n^{(k)}=\left| \begin{pmatrix}\r\\-\dfrac2k\\\vspace{4pt} n\end{pmatrix} \right|\) erweitert. Bezeichnet man mit \(\mathfrak S_k^c\) die Klasse der schlichten Funktionen \(f_k(z)\), die \(|z|<1\) auf einen konvexen Bereich abbilden, und setzt man \[ \gamma_n^{(k)}=\max_{f_k\in\mathfrak S_k^c}|a_n^{(k)}|, \quad \text{so folgt } \gamma_n^{(k)}=\frac1{nk+1}\left| \begin{pmatrix}\r\\-\dfrac2k\\\vspace{4pt} n\end{pmatrix} \right| \] wegen des Zusammenhanges zwischen den Funktionenklassen \(\mathfrak S_k^s\) und \(\mathfrak S_k^c\). Ist \(f_k(z)\in\mathfrak S_k^s\), so gehört die Funktion \(g_k(z)\), die durch \(f_k(z)=zg_k'(z)\) mit \(g_k(0)=0\) definiert ist, zu \(\mathfrak S_k^c\), und zu jeder Funktion \(g_k(z)\in\mathfrak S_k^c\) existiert eine entsprechende Funktion \(f_k(z)\in\mathfrak S_k^s\). (IV~4~H.)