On the theory of multivalent functions. (Q2612119)

Anknüpfend an die beiden vorstehend besprochenen Noten, beschäftigt sich Verf. weiterhin mit mehrwertigen Funktionen. Es wird zunächst der folgende Mittelwertsatz für analytische Funktionen bewiesen: Die Funktion \(f(z)\) sei in einem konvexen Gebiet \(D\) regulär. Sind dann \(z\), \(a_1\), \(a_2\), \dots, \(a_n\) Punkte aus \(D\), und setzt man \[ \begin{aligned} &f_1(z,a_1)=\frac{f(z)-f(a_1)}{z-a_1},\quad f_2(z,a_2,a_1)=\frac{f_1(z,a_1)-f_1(a_2,a_1)}{z-a_2},\ldots,\\ &f_n(z,a_n,\ldots,a_1)= \frac{f_{n-1}(z,a_{n-1},\ldots,a_1)-f_{n-1}(a_n,a_{n-1},\ldots,a_1)} {z-a_n}, \end{aligned} \] so gilt für jede reelle Konstante \(\alpha\) \[ \Re[e^{i\alpha}f_n(z,a_n,\ldots,a_1)]=\Re\left[e^{i\alpha}\frac{f^{(n)}(z')}{n!}\right], \] wo \(z'\) einen passenden Punkt aus dem kleinsten \(z\), \(a_1\), \dots, \(a_n\) enthaltenden, konvexen Polygon bedeutet. Gestützt auf diesen Hilfssatz gewinnt Verf. als Hauptresultat den folgenden Satz: Die Funktion \(f(z)\) sei in einem konvexen Gebiet \(D\) meromorph, und es gelte in \(D\) \[ \Re\left[e^{i\alpha}\frac{d^k}{dz^k}\left\{z^pf(z)\right\}\right]>0\qquad \binom{\text{\(k\), \(p\) ganz, \(k-1\geqq p\geqq 0\),}}{\text{\(\alpha\) reelle Konstante}}. \] Dann ist \(f(z)\) in \(D\) absolut \(k\)-wertig von der Klasse \(p\). Dabei heißt \(f(z)\) in \(D\) ``absolut \(k\)-wertig von der Klasse \(p\)'', wenn nicht nur \(f(z)\), sondern auch \(f(z)+P(z)\) für jedes \(P(z)\) der Form \[ P(z)=\sum_{n=-p}^{k-p-1}c_nz^n \] in \(D\) meromorph und höchstens \(k\)-wertig ist. Aus diesem Hauptsatz werden eine Reihe von Folgerungen gezogen: (a) So ergeben sich unmittelbar Sätze von \textit{Itihara} (Japanese Journ. of Math. 10 (1933), 71-78; F.~d.~M. 59\(_{\text{I}}\), 326) und \textit{Noshiro} (Shijô Sûgaku Danwa Kai, Nr.~18 (1934)), die hinreichende Bedingungen dafür enthalten, daß eine analytische Funktion in einem Kreis höchstens \(k\)-wertig ist. (b) Darüber hinaus ergeben sich Koeffizientenbedingungen für die absolute \(k\)-Wertigkeit einer Funktion, von denen als Beispiel genannt sei: Notwendig und hinreichend dafür, daß die Funktion \[ f(z)=\sum_{n=-p}^\infty a_nz^n\quad\text{mit}\quad a_{k-p}<0\;(k-1\geqq p\geqq 0),\quad a_{k-p+n}\geqq 0\quad(n=1,2,\dots) \] in \(|z|<r\) meromorph und absolut \(k\)-wertig von der Klasse \(p\) ist, ist das Bestehen der Beziehung \[ |a_{k-p}|\geqq\sum_{n=1}^\infty\binom{k+n}k|a_{k-p+n}|r^n. \] (c) Schließlich wird die Funktion \[ f(z)=\sum_{n=-p}^\infty a_nz^n \] in Beziehung gesetzt zu andern Funktionen, z.~B. zu \[ g(z)=-|a_{k-p}|z^{k-p}+\sum_{n=k-p+1}^\infty|a_n|z^n \qquad (k-1\geqq p\geqq 0). \] Ist \(g(z)\) in \(|z|<r\) meromorph und absolut \(k\)-wertig von der Klasse \(p\), so auch \(f(z)\). Ein letzter Abschnitt bezieht sich speziell auf die schlichten Funktionen. Für diesen Fall reduziert sich das oben genannte Hauptresultat des Verf. auf den folgenden, bereits von \textit{Noshiro} (Journ. Fac. Sc. Hokkaido Univ. (1) 2 (1934), 129-155 (F.~d.~M. 60\(_{\text{II}}\)), insbes. p.~151) gewonnenen Satz: Die Funktion \(f(z)\) sei in einem konvexen Gebiet \(D\) meromorph und erfülle in \(D\) die Beziehung \[ \Re[e^{i\alpha}f'(z)]>0\qquad \text{(\(\alpha\) reelle Konstante).} \] Dann ist \(f(z)\) in \(D\) regulär und schlicht. Verf. zieht nun aus diesem Satz die Folgerung: Ist \(\varPhi(z)\) eine in \(|z|<1\) analytische Funktion, die diesen Kreis auf ein bezüglich des Nullpunkts sternförmiges Gebiet schlicht abbildet, so ist jede in \(|z|<1\) analytische Funktion \(f(z)\), die daselbst die Bedingung \[ \Re\left[e^{i\alpha}\frac{zf'(z)}{\varPhi(z)}\right]>0\qquad \text{(\(\alpha\) reelle Konstante)} \] erfüllt, in \(|z|<1\) schlicht. Wählt man dabei speziell \(\varPhi(z)\) als eine der Funktionen \[ \frac{z}{1-z},\quad \frac{z}{(1-z)^2},\quad \frac{z}{1-z^2}, \] so erhält man die folgenden hinreichenden Koeffizientenbedingungen für die Schlichtheit: Es sei \[ f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\text{ mit }a_0=0,\;a_1=1. \] Erfüllen dann die Koeffizienten eine der drei Bedingungen \[ \begin{gathered} 1\geqq\sum_{n=1}^\infty|na_n-(n+1)a_{n+1}|\text{ oder } 1\geqq\sum_{n=1}^\infty|(n-1)a_{n-1}-2na_n+(n+1)a_{n+1}|\\ \text{oder } 1\geqq\sum_{n=1}^\infty|(n-1)a_{n-1}-(n+1)a_{n+1}|, \end{gathered} \] so ist \(f(z)\) in \(|z|<1\) regulär und schlicht. (IV~4~H.)