On the higher derivates at the boundary in conformal mapping. (Q2612136)

Es wird nach Bedingungen für Existenz und Stetigkeit höherer Ableitungen der Abbildungsfunktion \(f (z)=w\) (in Randpunkten) gefragt, welche den Einheitskreis \(|z|<1\) in ein Gebiet \(G\) mit einer Randkurve \(R\) abbildet. Die Bedingungen, die Verf. angibt, können mehr als andere, die bereits in der Literatur vorliegen, als Bedingungen im Kleinen angesehen werden; sie stützen sich auf eine Verallgemeinerung des Begriffs der \(L\)-Tangente (vgl. das vorstehende Referat) zur \(n\)-ten \(L\)-Krümmung. Ist \(\theta(s)\) der Winkel zwischen positiver reeller Achse und Tangentenrichtung im Punkte \(w_0\) von \(R\), entsprechend der Bogenlänge \(s_0\), so heiße \[ \varkappa^{(n)}(s)=\dfrac{d^{(n)}\theta(s)}{ds^n} \] die \(n\)-te Krümmung. Von \(L\)-Krümmung \(n\)-ter Ordnung wird dann gesprochen, wenn abgesehen von der Existenz von \(\varkappa^{(n)}(s)\) auch noch \[ \lim\dfrac{\varkappa^{(n-1)}(s')-\varkappa^{(n-1)}(s'')}{s'-s''} \] existiert und gleich \(\varkappa^{(n)}(s)\) ist, sobald \(s'\), \(s''\) zugleich gegen \(s_0\) streben. Die Hauptergebnisse -- soweit sie sich genügend kurz wiedergeben lassen -- sind dann von folgender Art: Hat die Randkurve \(R\) eine \(L\)-Krümmung der Ordnung \(n-1\), und ist das uneigentliche Integral \[ J=\int\limits_0^{\delta} \left|\varkappa^{n-2)}(s+t)+\varkappa^{(n-2)}(s-t)-2\varkappa^{(n-2)}(s)\right| \dfrac{dt}{t^2} \] konvergent für \(s = s_0\), \(w_0 = f(z_0)\), so hat \(f^{(n-1)}(z)\) stetige Randwerte in der Nähe von \(z_0\) und ist bei \(z_0\) differenzierbar. Hat der Rand \(R\) längs eines offenen Teilbogens stetige \((n-1)\)-te Krümmung, und konvergiert \(J\) gleichmäßig auf jedem abgeschlossenen Teilstück dieses Bogens, so hat \(f^{(n)}(z)\) stetige Randwerte auf dem entsprechenden Teilbogen des Einheitskreises. Außerdem verdient unter anderem eine hübsche Umkehrung des \textit{Lindelöf}schen Satzes (vgl. vorstehendes Referat) hervorgehoben zu werden.