Zur Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen. Die Randpunkte der Regularitätsbereiche. (Q2612168)

Ist ein Randpunkt \(P\) eines Regularitätsbereiches \(\mathfrak B\) Randpunkt eines jeden Bereiches, der \(\mathfrak B\) zur Regularitätshülle hat, so wird \(P\) als ``Stützpunkt'', im andern Falle als ``Flachpunkt'' von \(\mathfrak B\) bezeichnet. (Beispiele: Bei der Hyperkugel sind alle Randpunkte Stützpunkte, beim Dizylinder die Punkte der ``Kante'' und nur diese.) Es folgt leicht, daß \(P\) dann und nur dann Stützpunkt von \(\mathfrak B\) ist, wenn für jedes \(\varepsilon > 0\) der Bereich ``\(\mathfrak B-\mathfrak K(P,\varepsilon)\)'', wo \(\mathfrak K(P,\varepsilon)\) die Hyperkugel um \(P\) mit dem Radius \(\varepsilon\) bedeutet, eine von \(\mathfrak B\) verschiedene Hülle hat. Ferner gilt: Gibt es zu jedem \(\varepsilon\) eine Funktion \(f\), regulär in \(\mathfrak B\), die im Durschschnitt von \(\mathfrak B\) und \(\mathfrak K(P, \varepsilon)\) Werte annimmt, die sie im übrigen \(\mathfrak B\) nicht besitzt, so ist \(P\) Stützpunkt. Für den Fall der ``stetig-sternartigen'' Bereiche wird die Umkehrung dieses Satzes bewiesen. Besonders wichtig ist der Zusammenhang zwischen den hier eingeführten Begriffen und der Charakterisierung der Randpunkte durch die \textit{Levi}sche Bedingung bei Bereichen mit zweimal stetig differenzierbaren Randflächen. Enthält der Rand des Regularitätsbereiches \(\mathfrak B\) ein analytisches Hyperflächenstück (\(L(\varphi) \equiv0\)), so besteht dieses nur aus Flachpunkten. Die Umkehrung: Ist in der Umgebung von \(P\;L(\varphi)\not\equiv0\), so ist \(P\) Stützpunkt, wird unter der -- allerdings sehr einschränkenden -Voraussetzung bewiesen, daß in \(\mathfrak B\) der \textit{Cousin}sche Satz gilt. Sodann wird noch gezeigt: Ist \(\mathfrak B\) stetig-sternartig, und besteht eine Umgebung von \(P\) nur aus Stützpunkten, so ist dort \(L(\varphi)\not\equiv0\). Die Frage läßt sich ferner völlig entscheiden für die Regularitätsbereiche unter den Kreis- und \textit{Hartogs}schen Körpern. Sei der Rand durch \(| z| = R (s) \left(s =\dfrac wz \right)\) bzw. \(|z| = R(w)\) gegeben. Der Randpunkt \((w_0,z_0)\) ist dann und nur dann Flachpunkt, wenn in der Umgebung von \(s_0 =\dfrac{w_0}{z_0}\) in der \(s\)-Ebene bzw. von \(w_0\) in der \(w\)-Ebene gilt: \(\varDelta \log R(s)\equiv 0\) bzw. \(\varDelta \log R(w)\equiv 0\).