Zur Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen. Konvexität in bezug auf analytische Ebenen im kleinen und großen. (Q2612169)

Im projektiv abgeschlossenen Raum zweier komplexer Veränderlichen betrachte man einen (offenen, vierdimensionalen) schlichten Bereich. Ein schlichter Bereich heißt [im kleinen] \textit{planarkonvex}, wenn es durch jeden Randpunkt \(P\) eine \textit{analytische} Ebene (Stützebene) gibt, die [in einer Umgebung von \(P\)] nicht in den Bereich eindringt. Der analytische Charakter der Stützebenen ist dabei wesentlich: Es gibt nichtplanarkonvexe Bereiche mit zweidimensionaler (nicht immer analytischer) Stützebene in jedem Randpunkt. Beispiel (1) eines planarkonvexen Bereiches: jeder Zylinderbereich (auch nichtschlichte); (2) eines nicht planarkonvexen Regularitätsbereiches: die Punkte \((w, z)\) mit \(|w|\cdot|z| < 1\). -- Jeder schlichte planarkonvexe Bereich ist Regularitätsbereich. -Anwendung auf \textit{Reinhardt}sche Körper (R. K.): Ein planarkonvexer R. K. hat in der absoluten Ebene eine im gewöhnlichen Sinne konvexe Projektion. Deshalb kann ein endlicher, nicht eigentlicher R. K. (mit differenzierbarem Rand) unmöglich planarkonvex sein. Ein planarkonvexer R. K. mit stetig differenzierbarem Rand ist in gewöhnlichem Sinne konvex. -- Die Planarkonvexität im kleinen wird bei zweimal stetig differenzierbaren Hyperflächen durch Differentialungleichungen gekennzeichnet, wobei die \textit{Levi}sche Bedingung mitbenutzt wird. Dann wird die Äquivalenz der Planarkonvexität im kleinen und im großen für (geeignet berandete) schlichte Bereiche dargetan. -Um auch nicht schlichte Bereiche zu erfassen, wird die Definition der Planarkonvexität von vornherein allgemeiner gefaßt und nachträglich deren Äquivalenz mit der eingangs wiedergegebenen Definition für schlichte Bereiche nachgewiesen. -- Schließlich wird eine Konvexität statt mittels analytischer Ebenen mittels dreidimensionaler \textit{Projektivebenen} erklärt, das sind die projektiven Bilder beliebiger Hyperebenen. Diese ``\(P\)Konvexität'' ist bei schlichten Bereichen mit der Planarkonvexität äquivalent. Beispiele von Projektivebenen: (1) die Punkte \((w, z)\), wo etwa \(w\) einen Kreis, \(z\) die volle Ebene durchläuft; (2) die Punkte \((w, z)\), die der Gleichung \(| aw + bz + c| = 1\) genügen.