A problem concerning orthogonal polynomials. (Q2612174)

Walsh hat festgestellt, daß die \textit{Tchebycheff}schen Polynome (im engeren Sinne) mit derselben Belegungsfunktion wie auf der Strecke \(\langle-1,1\rangle\) auch auf jeder Ellipse mit diesen Punkten als Brennpunkten orthogonal sind; er hatte daran die Frage geknüpft, ob es noch weitere Systeme von Polynomen gibt, die auf mehr als einer geschlossenen Kurve (mit gewissen Belegungsfunktionen) orthogonal sind (Bull. Amer. Math. Soc. 40 (1934), 84-88; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 296). Die vorliegende Arbeit ist ein Beitrag zu dieser Frage, deren vollständige Beantwortung Verf. für sehr schwierig hält. Er beweist zunächst den folgenden Satz: \(C_1\) und \(C_2\) seien zwei geschlossene analytische Kurven, \(n_1(z)\) und \(n_2(z)\) seien auf \(C_1\) bzw. \(C_2\) gegebene positive, stetige Belegungsfunktionen, \(p_k (z)\) ein System von Polynomen (wobei \(k=0\), 1,\dots jeweils den genauen Grad von \(p_k\) angibt), die gleichzeitig auf \(C_1\) in bezug auf \(n_1\) und auf \(C_2\) in bezug auf \(n_2\) orthogonal sind. Dann muß eine der Kurven, etwa \(C_1\) die andere enthalten, und \(C_1\) ist Niveaukurve für die konforme Abbildung des Äußeren von \(C_2\) auf das Äußere eines Kreises, bei der der Punkt \(\infty\) festbleibt. Außerdem gibt es eine analytische Funktion \(D (z)\), die außerhalb von \(C_2\) regulär und von Null verschieden ist, derart, daß \[ | D (z) |^2=n_1 (z)\text{ auf } C_1\;| D (z) |^2 = n_2 (z) \text{ auf } C_2, \] letztere Gleichung im Sinne stetiger Randwerte von \(| D (z)|^2\) verstanden. Zum Beweise wird gezeigt, daß das System der \(p_k (z)\) die Abbildungsfunktion des Äußeren der Kurve, auf der sie orthogonal sind, sowie die Funktion \(D (z)\), die in der angegebenen Beziehung zur Belegungsfunktion steht, eindeutig festlegen. Den ersten Teil dieses Satzes hat gleichzeitig \textit{Walsh} bewiesen (vgl. die in F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 315-320 besprochenen Bücher von \textit{Walsh}, p. 133 bzw. p. 43). Eine abschließende Antwort läßt das folgende, durch das eben genannte Ergebnis nahegelegte Problem zu: Man bestimme alle \textit{Jordan}kurven \(C\) und alle Funktionen \(D(z)\), die außerhalb von \(C\) regulär und von Null verschieden sind, derart, daß folgendes gilt: \(C_r\) sei eine beliebige Nivaukurve der konformen Abbildung des Äußern von \(C\) auf das Äußere des Einheitskreises bei festbleibendem Punkt \(\infty\); das System der Orthogonalpolynome \(p_k(z)\) auf \(C_r\) mit der Belegungsfunktion \(|D(z)|^2\) sei für alle \(C_r\) dasselbe. Es ergeben sich fünf verschiedene Typen von solchen Orthogonalsystemen; zwei von ihnen gehören zu einer Schar konzentrischer Kreise, drei zu einer Schar konfokaler Ellipsen.