Hypersphärische Funktionen und die in sphärischen Bereichen orthogonalen Polynome. (Q2612215)

Verf. separiert die Potentialgleichung \[ \varDelta V=\sum\limits_{i=1}^{p}\dfrac{\partial^2V}{\partial x_i^2}=0 \] in folgender Weise: Es seien hypersphärische Koordinaten in \(p_1\) Dimensionen definiert durch \(r_1\, (r_1^2 = x_1^2 + x_2^2 +\cdots+ x_{p_1}^2)\) und \(p_1 - 1\) zugehörige Winkel und ebenso in \(p_2\) Dimensionen durch \(r_2\, (r_2^2=x_{p_1+1}^2+\cdots+x_p^2)\) und \(p_2 - 1\) zugehörige Winkel (\(p_1+p_2=p;\quad p_1> 1,\quad p_2> 1\)). Setzt man noch \(r_1=r \sin \eta\), \(r_2 = r \cos \eta\) \(\left(0\leqq\eta\leqq\dfrac\pi2\right)\), so erhält man \[ \begin{multlined} \varDelta V=\frac1{r^{p-1}}\dfrac{\partial}{\partial r} \left(r^{p-1}\dfrac{\partial V}{\partial r}\right)+ \frac1{r^2\sin^{p_1-1}\eta\cos^{p_2-1}\eta}\dfrac{\partial}{\partial \eta} \left(\sin^{p_1-1}\eta\cos^{p_2-1}\eta\dfrac{\partial V}{\partial \eta}\right)\\ +\frac1{r^2\sin^2\eta}\varDelta_{\omega_1}V +\frac1{r^2\cos^2\eta}\varDelta_{\omega_2}V, \end{multlined} \] wobei \(\varDelta_{\omega_1}\) und \(\varDelta_{\omega_2}\) die \textit{Laplace}schen Operatoren auf den betreffenden Einheitsüberkugeln bedeuten. \(\varDelta V = 0\) zerfällt also in die vier Gleichungen \[ \displaylines{\rlap{\indent(1)}\hfill \frac1{r^{p-3}}\frac d{dr}\left(r^{p-1}\frac{dR}{dr}\right)=0, \hfill\cr \rlap{\indent(2)}\hfill \varDelta_{\omega_1}Y_1+\lambda_1Y_1=0, \hfill\cr \rlap{\indent(3)}\hfill \varDelta_{\omega_2}Y_2+\lambda_2Y_2=0, \hfill\cr \indent(4)\quad \frac1{\sin^{p_1-1}\eta\cos^{p_2-1}\eta}\frac d{d\eta} \left(\sin^{p_1-1}\eta\cos^{p_2-1}\eta\dfrac{\partial H}{\partial \eta}\right) +\left(\lambda-\frac{\lambda_1}{\sin^2\eta}-\frac{\lambda_2}{\cos^2\eta}\right)H=0. \cr } \] (1) hat die beiden Lösungen \(r^\nu\) und \(r^{-\nu-p+2}\), wo \(\nu(\nu + p - 2) = \lambda\) ist. (2) und (3) sind die ursprüngliche Fragestellung, nur in einer geringeren Dimensionenzahl, und können in derselben Weise weiter behandelt werden. (4) läßt sich durch die Substitution \[ \cos^2\eta = x,\quad H = (1 - x)^{\tfrac{\nu_1}2} x^{\tfrac{\nu_2}2} K \] mit \(\nu_1 (\nu_1 + p_1 - 2) = \lambda_1\), \(\nu_2 (\nu_2 + p_2 - 2) = \lambda_2\) in eine hypergeometrische Differentialgleichung verwandeln. Die Randbedingungen mögen derart spezialisiert sein, daß die Lösungen von (2), (3), (4) homogenen Randbedingungen unterworfen sind, sodaß diese Gleichungen zu Eigenwertproblemen Veranlassung geben. Die zu (2) und (3) gehörigen Variationsprobleme haben die Form \[ \delta{\int}(\operatorname{grad}_tY)^2\,d\omega=0\quad\text{mit}\quad {\int}Y^2\,d\omega=1, \] wo \(\operatorname{grad}_t\) die tangentielle Komponente normal auf \(r\) bedeutet. Das Minimum des ersten Integrals ist der kleinste Eigenwert, daher sind alle Eigenwerte \(\geqq0\), \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) also bekannte, nicht negative Größen. Die Eigenwertprobleme von (4) werden für den Fall behandelt, daß an den singulären Stellen \(x = 0, 1\) statt einer gewöhnlichen Randbedingung die Bedingung des Endlichbleibens der Funktion tritt. Man erhält eine diskrete Reihe von Eigenwerten \(\lambda\), die zugehörigen hypergeometrischen Reihen \(K\) werden Polynome. Hierauf werden noch die Fälle behandelt, wo \(p_1\) oder \(p_2\) gleich 1 sind. Falls man auch die Eigenwertprobleme von (2) und (3) mit den Bedingungen löst, daß die entsprechenden Funktionen auf den ganzen Flächen der betreffenden Überkugeln endlich sind, so sollen die Eigenfunktionen in diesem Fall hypersphärische Funktionen (Kugelflächenfunktionen in \(p\) Dimensionen) heißen und mit \(Y^p\) bezeichnet werden. Man erhält dann \[ Y^p = Y^{p_1}H(\eta)Y^{p_2}. \] Zerlegt man \(Y^{p_1}\) und \(Y^{p_2}\) in derselben Weise weiter, so ergibt sich schließlich für \(Y^p\) ein Produkt von \(p\) Faktoren \(H\). Wählt man \(p_2 = 1\), so erhält man die gewöhnlichen hypersphärischen Koordinaten und die Darstellung der entsprechenden hypergeometrischen Funktionen durch die sogenannten zugeordneten \textit{Gegenbauer}schen Funktionen (vgl. Denkschriften Akad. Wien 48 (1884), 293-316; F. d. M. 16, 452 (JFM 16.0452.*)-453). Eine neuartige Zerlegung bekommt man, wenn man jedesmal nicht eine, sondern zwei Dimensionen abspaltet. Hängt eine \(p\)-dimensionale Kugelfunktion von \(p_1\geqq2\) rechtwinkligen Koordinaten nicht ab, so wird sie zonal genannt und ist ein Polynom \(n\)-ten Grades \(Z^p_n\) (\(n= 0, 1, 2,\dots\)). Aus der Orthogonalitätseigenschaft der allgemeinen \(Y^p\) ergibt sich dann \[ {\int}\sin^{p_1-2}\eta Z_n^pZ_n^{p'}\,d\tau_2=0, \] wo das Integral über einen bestimmten hypersphärischen Bereich des \(p_2\)-dimensionalen Raumes zu erstrecken ist. Unabhängig davon kann man diese orthogonalen Polynome \(S_n^p\) in \(p\) Veränderlichen vom Grade \(n\) auch aus dem Variationsproblem \[ \delta{\int}(1-r^2)(\operatorname{grad} S)^2\,d\tau_p=0\quad\text{mit}\quad {\int}S^2\,d\tau_p=1 \] erhalten, wo die Integrale über das Innere der Einheitsüberkugel des \(p\)-dimensionalen Raumes zu erstrecken sind.