On the integral representations of the Lommel functions. (Q2612228)

Verf. gibt für die im Punkte \(z=0\) reguläre Lösung der \textit{Lommel}schen Differentialgleichung mit imaginärem Argument \[ z^2\frac{d^2F}{dz^2}+z\frac{dF}{dz}-(\nu^2+z^2)=z^{\mu+1} \] die Integraldarstellung \[ F_{\mu,\nu}^0(z)=z^{\mu+1}\int\limits_{0}^{1}\operatorname{cosh}(zt) W_{\mu,\,\nu}(t)\,dt \] wo \[ W_{\mu,\nu}(t)=(-1)^{\tfrac{\nu-\mu}2}\frac {\varGamma(\mu+1)\varGamma\left(\dfrac{\nu-\mu}2\right)} {2\varGamma\left(\dfrac{\nu+\mu}2+1\right)} (1-t^2)^{\tfrac{2\mu+1}2}C_{\nu-\mu-1}^{\mu+1}(t) \] und \(C^k_n(t)\) die \textit{Gegenbauer}schen Funktionen bedeutet. Es ist dann \[ \begin{aligned} F_{\mu,\nu}(z)=F_{\mu,\nu}^0(z)&-2^{\mu-1} \varGamma\left(\frac{\mu-\nu+1}2\right)\varGamma\left(\frac{\mu+\nu+1}2\right) I_\nu(z)\\ &=z^{\mu+1}\int\limits_0^1e^{-zt}W_{\mu,\nu}(t)\,dt \end{aligned} \] ebenfalls eine Lösung der \textit{Lommel}schen Differentialgleichung, die mit der von \textit{Goldstein} (Proc. London Math. Soc. (A) 123 (1929), 440-465; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 1133) benützten bis auf das Vorzeichen übereinstimmt und zur Summation der von \textit{Goldstein} abgeleiteten Summe \[ \sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac4\pi F_{1,2m+1}\big((2m+1)r\big)\cos(2m+1)\vartheta. \] verwendet wird. Es folgt die analoge Integraldarstellung der \textit{Lommel}schen Funktionen \(s_{\mu,\nu}\) und \(S_{\mu,\nu}\) für reelle und rein imaginäre Argumente. Die Betrachtungen gelten für den Fall, daß \(\nu-\mu\) eine gerade natürliche Zahl oder Null ist.