The functions of Schläfli and Lobatschefsky. (Q2612231)

Es handelt sich um die gemeinsame Ableitung der Formeln, die \textit{Schläfli} und \textit{Lobatschefsky} für das Volumen eines doppelt rechtwinkligen Tetraeders im elliptischen bzw. hyperbolischen Raum gegeben haben. Dabei kommen Reihen von der Form \[ S(\alpha,\beta,\gamma)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-X)^n}{n^2} (\cos(2n\alpha)-\cos(2n\beta)+\cos(2n\gamma)-1)-\alpha^2+\beta^2-\gamma^2 \] zur Anwendung, wo ist: \[ \begin{aligned} X&=\frac{\sin\alpha\sin\gamma-D}{\sin\alpha\sin\gamma+D}, D=\sqrt{\cos^2\alpha\cdot\cos^2\gamma-\cos^2\beta},\\ 0&\leqq\alpha\leqq\frac\pi2,\quad0\leqq\beta\leqq\pi,\quad0\leqq\gamma\leqq\frac\pi2; \end{aligned} \] sie hängen mit dem \textit{Schläfli}schen Resultat \({\frac18}\pi^2f(\alpha,\beta,\gamma)\) durch die Beziehung \[ S(\alpha,\beta,\gamma)={\frac12}\pi^2f({\frac12}\pi-\alpha,\beta, {\frac12}\pi-\gamma) \] zusammen und werden als \textit{Schläfli}sche Funktionen bezeichnet. Zum Schlüsse erfolgt Anwendung auf die regulären Polyeder im hyperbolischen Raum. (V 1.)