Some infinite integrals involving Bessel functions. (Q2612238)

Das Integral \[ \int\limits_{0}^{\infty}t^{\lambda-1}J_\mu(at)J_\nu(bt)K_\varrho(ct)\,dt \tag{1} \] ist für \(\lambda=\varrho+2\), \(\mu=\nu\) von \textit{H. M. Macdonald} (Proc. London Math. Soc. (2) 7 (1909) 142-149; F. d. M. 40, 511 (JFM 40.0511.*)), für \(\lambda=\frac32\), \(\varrho=\frac12\) von \textit{G. N. Watson} (Journ. London Math. Soc. 9 (1934), 16-22; F. d. M. \(60_{\text{II}}\)) und für \(\lambda = 2\), \(\mu = 0\), \(\varrho = \nu\) von \textit{A. Popov} (C. R. Acad. Sc. URSS \(1934_{\text{II}}\), 11-12; F. d. M. \(60_{\text{II}}\)) behandelt worden. Verf. untersucht (1), ohne andere einschränkende Annahmen über die Parameter zu machen, als für die Konvergenz von (1) erforderlich sind, und er zeigt, daß (1) sich durch die \textit{Appell}sche hypergeometrische Reihe \(F_4\) in zwei Veränderlichen ausdrücken läßt, und zwar ergibt sich für (1), wenn \(c\) reell und, absolut genommen, groß im Vergleich zu \(|a|\) und \(|b|\) ist: \[ \begin{multlined}\frac {2^{\lambda-2}a^\mu b^\nu\varGamma\{{\frac12}(\lambda+\mu+\nu-\varrho)\} \varGamma\{{\frac12}(\lambda+\mu+\nu+\varrho)\}} {c^{\lambda+\mu+\nu}\varGamma(\mu+1)\varGamma(\nu+1)}\\ \cdot F_4\left\{{\frac12}(\lambda+\mu+\nu-\varrho), {\frac12}(\lambda+\mu+\nu+\varrho);\mu+1,\nu+1; -\frac{a^2}{c^2},-\frac{b^2}{c^2}\right\}\end{multlined}\tag{2} \] Verf. betrachtet nun solche Sonderfälle, in denen die Funktion \(F_4\) sich durch einfache (\textit{Gauß}sche) hypergeometrische Funktionen ausdrücken läßt; er benutzt dabei früher (1933, 1934; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 376-377; \(60_{\text{I}}\), 304) von ihm hergeleitete Formeln, z. B. die Formel \[ F_4\{\alpha,\beta;\gamma,1+\alpha+\beta-\gamma;x(1-y),y(1-x)\} =F(\alpha,\beta;\gamma;x)F(\alpha,\beta;1+\alpha+\beta-\gamma;y). \tag{3} \] Ferner behandelt er das Integral \[ \int\limits_{0}^{\infty}t^{\lambda-1}J_\mu(at)J_\nu(bt)J_\varrho(ct)\,dt, \tag{4} \] das \textit{G. N. Watson} (Theory of Bessel functions (1922; F. d. M. 48, 412 (JFM 48.0412.*)), \S~13.46) in Form einer unendlichen Reihe aus Produkten von hypergeometrischen Funktionen und \textit{Macdonald} (vgl. denselben Paragraphen des \textit{Watson}schen Buches) im Fall \(\lambda+\mu= 2\), \(\nu =\varrho\) mit Hilfe von \textit{Legendre}sches Funktionen ausgewertet hat. Auch hier gelingt es Verf., das Integral (4) mit Hilfe der Funktion \(F_4\) auszudrücken; für (4) ergibt sich nämlich: \[ \begin{multlined}\frac {2^{\lambda-1}a^\mu b^\nu \varGamma\{{\frac12}(\lambda+\mu+\nu+\varrho)\}} {c^{\lambda+\mu+\nu}\varGamma(\mu+1)\varGamma(\nu+1) \varGamma\{-{\frac12}(\lambda+\mu+\nu-\varrho)\}}\\ \cdot F_4\left\{{\frac12}(\lambda+\mu+\nu-\varrho), {\frac12}(\lambda+\mu+\nu+\varrho);\mu+1,\nu+1; \frac{a^2}{c^2},\frac{b^2}{c^2}\right\}. \end{multlined}\tag{5} \] Vgl. auch das folgende Referat.