On the asymptotic expansion of the Bessel function with purely imaginary argument. (Q2612244)

Die \textit{Bessel}sche Funktion \(J_\nu(ai)\) (\(a\) reell, \(\nu\) reell und \(>\frac12\)) hat die folgende asymptotische Entwicklung: \[ J_\nu(ai) = \frac{(2ia)^\nu e^a}{\sqrt\pi\varGamma(\nu+\frac12)} \left\{\sum\limits_{s=1}^{n} \frac{\varGamma(s-\nu-\frac12)\varGamma(s+\nu-\frac12)} {\varGamma(s)\varGamma(\frac12-\nu)} \cdot \frac1{(2a)^{s+\nu-\frac12}}+R_n(2a,\nu)\right\}. \] In Verallgemeinerung eines von \textit{Stieltjes} gefundenen Ergebnisses zeigt Verf., daß die Gleichung \(R_n(2a,\nu)=0\) (\(\nu\) und \(n\) fest) eine Lösung der folgenden Form besitzt: \[ 2a = n + \sqrt{2n}\cdot p (\nu) + B_1(\nu)+\frac{B_2(\nu)}{\sqrt n}+ \frac{B_3(\nu)}n+O(n^{-\frac32}); \tag{1} \] hierbei ist \(p (\nu)\) durch die Gleichung \(\int\limits_{0}^{p(\nu)}e^{\lambda^2}d\lambda=\dfrac{\sqrt\pi}2 \operatorname{tg}\pi\nu\) definiert, und die \(B\) haben die folgende Bedeutung: \[ \begin{aligned} &B_1(\nu)=\frac23\{p^2(\nu)-1\},\quad B_2(\nu)=\sqrt2\left\{\frac1{18}p^3(\nu)-\frac{11}{36}p(\nu)\right\},\\ &B_3(\nu)=-\frac2{135}p^4(\nu)+\frac7{405}p^2(\nu)-\nu^2+\frac{437}{1620}. \end{aligned} \] Im Fall eines ganzzahligen \(\nu\) vereinfacht sich (1) folgendermaßen: \[ 2a=n-\frac23+\left(\dfrac{437}{1620}-\nu^2\right)\cdot\frac1n+O(n^{-2}), \] und für \(\nu = 0\) resultiert hieraus das erwähnte Ergebnis von \textit{Stieltjes}. Verf. setzt bei der Herleitung von (1) voraus, daß \(-\frac12<\nu<\frac12\) ist, bemerkt jedoch ohne Beweis, daß das Ergebnis auch richtig bleibt unter den Voraussetzungen \(| \nu | < n - \frac12\) und \(2\nu\neq\) ungerade Zahl.