Generalized hypergeometric series. (Q2612257)

Das Büchlein gibt eine Zusammenfassung der Untersuchungen, die in den letzten Jahren vom Verf. unter anderem über die verallgemeinerten hypergeometrischen Reihen von der Form \[ {}_pF_q\binom{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p;z}{\varrho_1,\varrho_2,\dots,\varrho_q}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac {(\alpha_1)_n(\alpha_2)_n\dots(\alpha_p)_n} {n!(\varrho_1)_n(\varrho_2)_n\dots(\varrho_q)_n}z^n \] angestellt worden sind; dabei bedeutet \[ (\alpha)_n=\alpha(\alpha+1)\dots(\alpha+n-1). \] gewöhnliche hypergeometrische Reihe ist in dieser Bezeichnung: \[ F(\alpha,\beta,\gamma;z)={}_2F_1\binom{\alpha,\beta;z}\gamma; \] von ihr werden in den beiden ersten Kapiteln nur diejenigen Sätze und Eigenschaften angeführt, die für die folgenden Kapitel nötig sind. Das dritte Kapitel ist der Reihe \({}_3F_2\) gewidmet; die Sätze von \textit{Dixon, Watson und Whipple} werden bewiesen. In den drei folgenden Kapiteln werden Methoden für die Gewinnung von Transformationsformeln der allgemeinen \({}_pF_q\) angegeben; im vierten Kapitel wird die Summation von Reihen niederer Ordnung verwendet; im fünften Kapitel werden ein Satz von \textit{Dougall}, der wesentlich einfacher bewiesen wird, und ein solcher von \textit{Carlson} herangezogen; im sechsten Kapitel werden die \textit{Barnes}schen Kurvenintegrale benutzt. Das siebente Kapitel bringt Transformationsformeln für spezielle ``well poised'' Reihen, für die ist: \[ q = p - 1,\quad 1 + \alpha_1 =\varrho_1+\alpha_2=\cdots =\varrho_{p-1}+\alpha_p. \] Hieran schließen sich einige Sätze über die \textit{Heine}schen Reihen: \[ {}_r\varPhi_s\binom {(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r;z}{\varrho_1,\varrho_2,\dots,\varrho_s}=\sum\frac {(\alpha_1)_{qn}(\alpha_2)_{qn}\dots(\alpha_r)_{qn}} {(q)_{qn}(\varrho_1)_{qn}\dots(\varrho_s)_{qn}}z^n, \] wo ist: \[ (\alpha)_{q0}=1;\quad(\alpha)_{qn}=(1-\alpha)(1-\alpha q)\dots (1-\alpha q^{n-1}),n\geqq1; \] Grenzbetrachtungen ergeben die \textit{Rogers-Ramujan}schen Identitäten. Das neunte Kapitel enthält eine Skizze der \textit{Appell}schen hypergeometrischen Funktion mit zwei Veränderlichen. Im letzten Kapitel werden die Identitäten von \textit{Cayley} und \textit{Orr} über die gewöhnliche hypergeometrische Reihe und einige andere Resultate behandelt. Den Abschluß bilden eine Sammlung von Beispielen und Aufgaben sowie ein Literaturverzeichnis.