On pseudo-periodic functions. (Q2612262)

Verf. untersucht eindeutige Funktionen, welche bei Vermehrung des Arguments um \(2\omega\) bzw. \(2\omega'\) je eine lineare Substitution erleiden. Sonderfälle davon, bei denen beide Substitutionen die Form \(z' = \mu z\) oder beide die Form \(z' = z + \lambda\) haben, wurden schon von \textit{Hermite} bzw. \textit{Halphen} betrachtet. Wegen der Eindeutigkeit müssen die beiden Substitutionen vertauschbar sein. Dies trifft einmal dann ein, wenn die Fixpunkte übereinstimmen und beide Substitutionen nicht parabolisch oder beide parabolisch sind. In diesen beiden Fällen lassen sich die Funktionen durch lineare Transformation auf die Funktionen von \textit{Hermite} bzw. \textit{Halphen} zurückführen. Außerdem ist nur noch der Fall möglich, wo die beiden Substitutionen eine Vierergruppe erzeugen. (Verf. weist drauf hin, daß dieser Fall in der Darstellung bei \textit{Forsyth}, Functions of a complex variable, 3. Aufl. (1918), p. 719, fehlt). Die zugehörigen Funktionen sind elliptisch mit den Perioden \(4\omega\), \(4\omega'\). Sie können durch lineare Transformation auf eine Normalform gebracht werden, welche den Funktionalgleichungen \[ F (z + 2\omega) + F (z) = 0;\quad F (z + 2\omega')F(z) = H \] genügt. Nachdem einige einfache Eigenschaften dieser Funktionen hinsichtlich der Verteilung der Nullsteilen und Pole nachgewiesen worden sind, wird zum Schluß der Zusammenhang derjenigen unter ihnen, welche elliptische Funktionen zweiter Ordnung sind, mit den klassischen elliptischen Funktionen hergestellt. Unter anderen gehört dazu die \textit{Weierstraß}sche Funktion \(\wp(z; 2\omega, 2\omega')\).