Der singuläre Fall der Reduktion hyperelliptischer Integrale erster Ordnung auf elliptische durch eine Transformation dritten Grades. (Q2612273)

Ist \(R (x) = (x^3 + 3ax + b) (x^3 + 3px^2 + q)\), so ist nach \textit{Goursat} notwendig und hinreichend dafür, daß das hyperelliptische Differential erster Gattung \(\dfrac{dx}{\sqrt{R(x)}}\) durch eine Transformation dritten Grades \(U (x) - zV (x) = 0\) (\(U\), \(V\) Polynome dritten Grades in \(x\)) in ein elliptisches Differential erster Gattung in \(z\) transformiert werden kann, die Relation \(q = 4b + 12ap\). Es existiert dann stets eine zweite solche Transformation, die dasselbe für das Differential \(\dfrac{xdx}{\sqrt{R(x)}}\) leistet. Verf. fragt, ob und wann sich durch geeignete Wahl von U und V noch weitere hyperelliptische Differentiale erster Gattung \(\dfrac{x-\delta}{\sqrt{R(x)}}\, dx\) in elliptische Differentiale transformieren lassen. Setzt man \[ \begin{multlined} F(p,q,a) = 4(ap-q)^2\left(9p^3 + 4ap-\frac54q\right)\\ + 13pq (ap - q) \left(\frac{11}4 p^2 - a\right) + 4aq \left(\frac{11}4 p^2 - a \right)^2, \end{multlined} \] so zeigt sich: Ist \(F (p, q, a) \neq0\), so sind nur die beiden von \textit{Goursat} angegebenen Differentiale durch Transformationen dritten Grades in elliptische Differentiale transformierbar. Tritt der ``singuläre Fall'' \(F (p, q,a) = 0\) ein, so existiert noch genau ein weiteres Paar solcher Differentiale, falls \(\dfrac{11}4 p^2 - a \neq 0\), dagegen zwei solche Paare, falls \(\dfrac{11}4 p^2 - a = 0\). Für den singulären Fall gibt es außerdem noch ein bzw. drei Paare von Differentialen erster Gattung, die schon durch quadratische Transformation in elliptische Differentiale transformierbar sind.