Über die Vollständigkeit eines Systems von Funktionen, die von einem stetigen Parameter abhängen. (Ein Beitrag zur Theorie der Integralgleichungen erster Art.) (Q2612295)

Verf. untersucht die Vollständigkeit der Menge von Funktionen von \(x\), die der integrierbare Kern \(K(x, y)\) bildet, wenn man darin \(y\) als Parameter auffaßt. Diese Menge wird dabei als vollständig bezeichnet, wenn keine quadratisch summierbare Funktion \(\varPhi(x)\) existiert von der Art, daß das Integral \[ \int\limits_0^1 K(x, y)\varPhi(x)\,dx = 0 \] ist für alle \(y\) mit Ausnahme von höchstens einer Nullmenge. Mit Hilfe des Lemmas, daß die Vollständigkeit des Systemes \(K_y (x) = K(x, y)\) gleichbedeutend ist damit, daß zu jeder quadratisch summierbaren Funktion \(f (x)\) und jedem \(\varepsilon > 0\) eine Funktion \(\varphi_\varepsilon(y)\) existiert, so daß \[ \int\left[\int K(x, y) \varphi_\varepsilon (y)\, dy-f(x)\right]^2\, dx < \varepsilon^2 \] gilt, beweist Verf. als notwendige und hinreichende Bedingung für die Vollständigkeit des Systemes \(K_y (x)\) das Bestehen der Identität \[ \sum_{m=1}^\infty \underbrace{\int\!\cdots\!\int\kern-0.7em}_{{\scriptstyle m}} \kern0.7em\frac{\left[\int\varDelta_m(y_1,y_2,\ldots,y_m\mid x)f(x)\,dx\right]^2}{\varDelta_m(y_1,y_2,\ldots,y_m)\varDelta_{m-1}(y_1,y_2, \ldots,y_{m-1})}\,dy_1\ldots dy_m=\int f^2 (x)\,dx \tag{1} \] für jede quadratisch summierbare Funktion \(f (x)\). Dabei bezeichnet \(\varDelta_m(y_1, y_2,\ldots,y_m )\) die \textit{Gram}sche Determinante für die Funktionen \(K(x,y_1),\,\ldots,\,K(x,y_m)\) und \(\varDelta_m(y_1, y_2,\ldots, y_m \mid x)\) diejenige Determinante, die sich von der vorhergehenden lediglich dadurch unterscheidet, daß in der letzten Spalte \(K(x,y_1),\,\ldots,\, K (x, y_m)\) steht. Die Identität (1) stellt eine interessante Verallgemeinerung der \textit{Parseval}schen Identität dar.