Abhängigkeiten zwischen den Flächenintegralen einer stetigen Funktion. (Q2612310)

Verf. behandelt eine allgemeine Klasse von Integralgleichungen der Form \[ g(a_1,\ldots,a_r,b)= \int\limits_{\textstyle\sum_{a_1\ldots a_r}^b} f(y_1,\ldots,y_n)Q(a_1,\ldots,a_r,y_1,\ldots,y_n)\,do, \tag{1} \] das heißt, er stellt die Frage: Unter welchen Bedingungen läßt sich eine stetige Funktion \(f(y_1,\ldots, y_n)\) im \(R_n\) derart bestimmen, daß ihre Integrale über eine \((r +1)\)-parametrige Hyperflächenschar \(\sum_{a_1\ldots a_r}^b\) die vorgegebenen Werte \(g(a_1,\ldots, a_r, b)\) annehmen. Obwohl (1) (nach Integration über \(b\)) als eine \textit{Volterra}sche Integralgleichung erster Art in mehreren Variablen aufgefaßt werden kann, muß schon im Falle \(r =1\) die Funktion \(g\) wesentlichen Bedingungen genügen, damit (1) lösbar sei. Insbesondere ist das \(g(a_1\ldots, a_r, b)\) einer lösbaren Gleichung (1) bereits eindeutig bestimmt, wenn es auf einer ``vollständigen'' Menge \(M\) von \(r\)-tupeln \((a_1,\ldots, a_r)\) und für alle \(b\) gegeben ist. Zu diesen ``vollständigen'' Mengen \(M\) gelangt Verf. mit Hilfe einer analytischen \textit{Fourier}transformierten \(F(a_1,\ldots, a_r, b)\) von \(g(a_1,\ldots, a_r, b)\). Falls nämlich das analytische \(F\) durch Vorgabe auf einer Menge \(M\) und \(- \infty < b < + \infty\) eindeutig bestimmt ist, so gilt das gleiche für \(g\), und damit läßt sich entscheiden, ob \(M\) ``vollständig'' ist oder nicht. Dies wird dann in einem Spezialfall genauer diskutiert: Sind nämlich in (1) die \(\sum_{x_1\ldots x_n}^r\) Kugeln in \(R_n\) mit Zentrum \((x_i)\) und Radius \(r\), so ist (1) äquivalent einem Anfangswertproblem der ``\textit{Darboux}schen Gleichung''; Verf. gelangt so zu neuen Aussagen (auch Eindeutigkeitssätzen) für das allgemeine nichtanalytische Anfangswertproblem dieser Gleichung. Andere Methoden für verwandte Probleme geben: \textit{Hadamard} (Propriétés d'une équation linéaire aux dérivées partielles du quatrième ordre, Tôhoku math. Journ. 39 (1933), 133-150; F. d. M. \(59_{\text{II}}\)), \textit{Asgeirsson} (Diss. Göttingen). (Vgl. auch \textit{F. John}, Bestimmung einer Funktion aus ihren Integralen über gewisse Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 109 (1934), 488-520; F. d. M. \(60_{\text{II}}\).)