On a simple type of integro-differential equation. (Q2612324)

Bei der Behandlung von Variationsproblemen der Form \(\varphi (I, K) = \text{Min}\) (vgl. \textit{R. P. Gillespie}, Proc. Edinburgh math. Soc. (2) 3 (1932), 87-98; F. d. M. 58) stellt sich als Analogon der \textit{Jacobi}schen Gleichung eine Integrodifferentialgleichung vom folgenden Typus ein: \[ u'' + l (x) u' + m (x) u + n(x) \int\limits_{x_1}^{x_2}[p(x) u+ q(x) u']\, dx = 0. \] Ihre Lösung läßt sich leicht bewerkstelligen, indem man das Integral zunächst durch einen Parameter \(\lambda\) ersetzt. Es zeigt sich dann, daß die Lösungen aus zwei linear unabhängigen Partikularlösungen \(u_1\), \(u_2\) linear kombiniert werden können und die Nullstellen von \(u_1\) und \(u_2\) einander trennen.