Sur la définition axiomatique d'une classe d'espaces vectoriels distanciés applicables vectoriellement sur l'espace de Hilbert. (Q2612336)

Hauptergebnis ist folgender Satz: Ein linearer metrischer separabler vollständiger Raum \(L\) läßt sich dann und nur dann auf den \textit{Hilbert}schen Raum vektoriell abwickeln, d. h. unter Erhaltung der Abstände und Vektoren umkehrbar eindeutig abbilden, wenn sich jeder dreidimensionale lineare Teilraum von \(L\) auf den dreidimensionalen euklidischen Raum vektoriell abwickeln läßt. Die \textit{v. Neumann}schen Postulate für den abstrakten \textit{Hilbert}schen Raum werden zunächst ersetzt durch solche, in denen statt des hermitesch symmetrischen inneren Produkts \(\bigl((f,g)\bigr)\) das symmetrische innere Produkt \((f, g) = \Re\bigl( (f, g)\bigr)\) auftritt. Das auch für \((f, g)\) geltende Distributivgesetz führt auf die Gleichung \[ (f,g) = \tfrac12\{\| f\|^2 +\|g\|^2 -\|f-g\|^2\}, \] womit der Wert des inneren Produktes \((\ldots,\ldots)\) durch Werte der Norm \(\|\ldots\|\) ausgedrückt ist. Aus der Schreibung des Distributivgesetzes für \((\ldots,\ldots)\) mit Hilfe der Norm \(\|\ldots \|\) leitet Verf. eine Funktionalgleichung für \(\|\ldots \|\) ab, deren geometrische Deutung dann zum obigen Satz führt. (V 2.)