Funktionale und Operationen in den Räumen der Zahlenfolgen. (Q2612341)

\(M\) bezeichne den Raum aller beschränkten reellen Zahlenfolgen \(x = \{x_n\}\) mit der Norm \(\| x\| = \sup\limits_n | x_n |\); \(C\) sei die Teilmenge aller Nullfolgen. Ferner bezeichne \(L_1\) den Raum aller Folgen \(x= \{x_n\}\) mit absolut konvergenter Reihe \(\sum x_n\) und der Norm \(\|x\| = \sum\limits_{n=1}^\infty |x_n|\). Verf. gibt drei Sätze an über lineare Funktionale und Operatoren in diesen Räumen. (1) Ein Analogon zu einem Satz von \textit{Fichtenholz} und \textit{Kantorovič} (C. R. Acad. Sc. URSS \(1934_{\text{III}}\), 307-312; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 330): Die allgemeine Form eines linearen Funktionals in \(M\) wird durch das Integral (im Sinne von \textit{Kolmogoroff}) \[ f(x) = \int\limits_E x_n\varPhi(dE)= \lim_{l_i-l_{i-1}\to0} \sum l_i \varPhi(E_i) \] dargestellt, wobei \(E\) die Menge aller natürlichen Zahlen, \(E_i = \mathop{\text{E}}\limits_n (l_{i-1}\leqq x_n < l_i)\) ihre Untermengen und \(\varPhi (E)\) eine beliebige additive und beschränkte Mengenfunktion bedeutet. (2) In \(C\) ist bekanntlich die allgemeine Form des linearen Funktionals: \[ \varphi(x)=\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots +\alpha_n x_n +\cdots;\quad \sum_n |\alpha_n| <+\infty, \tag{\text{*}} \] und es ist möglich, ein solches Funktional, ohne seine Norm zu vergrößern, auf den ganzen Raum \(M\) fortzusetzen. Verf. behauptet nun, daß die durch die Formel (*) gelieferte Fortsetzung die \textit{einzige} ist, welche die Norm nicht vergrößert. (3) Die allgemeine Form einer totalstetigen (bzw. einfach stetigen) linearen Operation, die \(L_1\) in sich abbildet, wird durch \[ y_m= \sum_{n=1}^\infty \alpha_{mn}x_n \] gegeben, wobei die Reihen \[ \sum_{m=1}^\infty |\alpha_{mn}| \qquad (n =1,\,2,,\ldots) \] gleichmäßig in \(n\) konvergieren (bzw. konvergieren und beschränkte Summen haben).