Sur le prolongement des fonctionelles linéaires. (Q2612344)

\(E\) sei ein normierter, vollständiger Vektorraum (also vom \textit{Banach}schen Typus (\(B\))), und \(E_1\) sei ein \(E\) umfassender Raum desselben Typus. Bekanntlich kann jedes lineare Funktional, das in \(E\) definiert ist, auf \(E_1\) mit der gleichen Norm fortgesetzt werden. Verf. untersucht nun die Frage der Fortsetzbarkeit der Familie aller in \(E\) definierten linearen Funktionale nach \(E_1 \); genauer gesagt die Frage: Kann man alle in \(E\) definierten linearen Funktionale nach \(E_1\) so fortsetzen, daß dabei die Norm und die Additivität erhalten bleiben? [Letzteres besagt, daß aus \(c_1f_1(x) + c_2f_2 (x) = f (x)\) für \(x \in E\) dieselbe Beziehung für \(x\in E_1\) folgt.] Verf. beweist, daß diese Fortsetzbarkeit möglich ist für die ``\textit{guasi-konvexen}'' (abgekürzt: ``q.-k.'') Räume \(E_1\). Ohne die Voraussetzung ``q.-k.'' ist die Fortsetzbarkeit im allgemeinen nicht möglich. Verf. bezeichnet dabei den Raum \(E_1\) als ``q.-k.'', wenn er folgende Eigenschaft besitzt: Zu jedem endlichen System von Elementen \(x_1,\, x_2,\,\ldots,\, x_n\) und zu einem Element \(x_0\), das nicht der durch jene Punkte bestimmten linearen Menge angehört, existiert ein Element \(\bar x_0\) von der Form \(\bar x_0= c_1x_1 +\cdots+ c_n x_n\) so, daß \[ |x_1-\bar x_0|\leqq |x_1-x_0| ,\,\ldots,\,|x_n-\bar x_0|\leqq |x_n-x_0|. \] Während nach \textit{Fichtenholz} und \textit{Kantorovitch} [C. R. Acad. Sc. URSS (2) 3, 307--312 (1934; JFM 60.0330.01)] die linearen Operationen im allgemeinen nicht fortsetzbar sind, liefert eine Anwendung des vom Verf. bewiesenen Satzes noch die Aussage: Ist der Raum \(E\) q.-k., so kann jede stark stetige Operation, die in \(E \subset E_1\) definiert ist, von \(E\) nach \(E_1\) fortgesetzt werden.