Spektraltheorie linearer Differentialoperatoren. (Q2612354)

Bericht über Probleme und Methoden der Spektraltheorie von Differentialoperatoren: Um das Eigenwertproblem \[ -\frac d{dx}\left(p\frac d{dx} y\right) + qy=\lambda y \] zu behandeln, führt man im \textit{Hilbert}schen Raum \(\mathfrak H\) der im Intervall \((x_0, x_1)\) quadratisch integrablen Funktionen den Operator \(L\) ein: \[ Lf=-\frac d{dx}\left(p(x)\frac d{dx} f\right) +q(x)f, \] dessen Definitionsbereich \(\mathfrak F_0\) aus allen \(f\in\mathfrak H\) besteht, die gewissen Differenzierbarkeitsbedingungen genügen, und für die \(Lf \in \mathfrak H\) ist. \(L\) besitzt, auf die \(f\) einer Teilmannigfaltigkeit \(\mathfrak F\) von \(\mathfrak F_0\) angewandt, nach der abstrakten Theorie genau dann eine Spektralzerlegung, wenn die Gleichung \[ \int\limits_{x_0}^{x_1} (gLf - hf)\, dx = 0\quad\text{für \;jedes}\quad f\in\mathfrak F \] mit \(g, h\in \mathfrak H\) notwendig und hinreichend für \(g\in \mathfrak F\), \(Lg = h\) ist. Wegen \[ \int\limits_{x_0}^{x_1} (f_1 Lf_2 -Lf_1\cdot f_2)\, dx=\lim_{x\to x_0} p(f_1f_2'-f_1'f_2) -\lim_{x\to x_1}p(f_1f_2'-f_1'f_2) \] liegt es nahe, ein \(\mathfrak F\) so zu bestimmen, daß die beiden Limites rechts bei beliebigem \(f_1\in \mathfrak F\) dann und nur dann für ein \(f_2\in \mathfrak F_0\) verschwinden, wenn \(f_2\in\mathfrak F\). Wenn \(\mathfrak F\) so bestimmt ist, hat \(L\) in \(\mathfrak F\) tatsächlich eine Spektralzerlegung; allerdings erfordert die Möglichkeit des Auftretens eines Bandenspektrums neue Überlegungen. Hinsichtlich der Existenz von \(\mathfrak F\) gilt nun an jedem der beiden Randpunkte \(x_0\), \(x_1\): Entweder man braucht, um \(\mathfrak F\) aus \(\mathfrak F_0\) auszusondern, gar keine Randbedingungen (Grenzpunktfall), oder man hat eine einparametrige Schar von Randbedingungen, die lauter verschiedene Funktionenmannigfaltigkeiten \(\mathfrak F\) aussondern (Grenzkreisfall). Ist aber \(L\) halbbeschränkt, so gibt es unter den verschiedenen \(\mathfrak F\) ein ausgezeichnetes; dies soll den physikalischen Ansprüchen besonders gerecht werden. Unter besonderen Voraussetzungen über \(p (x)\) und \(q (x)\) lassen sich genauere Aussagen machen. Am Schluß stehen ein paar Worte über partielle Differentialoperatoren.