On Fourier transforms. III. (Q2612367)

Unter der \textit{Fourier}-Transformierten in \(L^p\) (\(p = 1,\, 2,\,\ldots\)) einer Funktion \(f (u)\) versteht man bekanntlich eine Funktion \(F (x)\), für die \[ \lim_{\omega\to\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |F(x) - F (x, \omega)|^p\,dx = 0 \] gilt, wenn \(\sqrt{2\pi}F(x, \omega)\) das über \(u\) von \(-\omega\) bis \(+\omega\) erstreckte Integral mit dem Integranden \(f (u) e^{-iux}\) ist. Verf. benutzt eine andere Definition, indem er an Stelle des letztgenannten Integranden \((1- |u| \omega^{-1}) f (u) e^{-iux}\) nimmt. (Außerdem wird auch für \(p=\infty\) eine passende Definition gegeben.) Später wird gezeigt, daß für \(1 < p < \infty\) die beiden Definitionen übereinstimmen. Zum Verständnis der Resultate der Arbeit sind ferner noch folgende Definitionen notwendig: (1) Die in jedem endlichen Intervall im \textit{Lebesgue}schen Sinn integrierbare Funktion \(f (x)\) gehört zur Klasse \(H^p\) (\(1 < p < \infty\)), wenn das von \(-\infty\) bis \(+\infty\) erstreckte Integral über \(| F (x, \omega) |^p\) unabhängig von \(\omega\) beschränkt ist; für \(p = 1\) und \(p = \infty\) werden ebenfalls Definitonen gegeben. (2) Die in \((- \infty,\infty)\) zur \textit{Lebesgue}schen Klasse \(L^p\) gehörige Funktion \(F (x)\) gehört zu \(L^{*p}\) (\(1\leqq p <\infty \)), wenn das über \(u\) von \(-\infty\) bis \(\infty\) erstreckte Integral über \((e^{ixu}-1) (iu)^{-1}F(u)\) gegen ein unbestimmtes \textit{Lebesgue}sches Integral konvergiert; für \(p = \infty\) wird eine entsprechende Definition gegeben. (3) Eine meßbare Funktion gehört zu \(H^pL^q\), wenn sie sowohl zu \(H^p\) wie zu \(L^q\) gehört. Die Hauptresultate der Arbeit sind dann die folgenden: I. Gehört \(f (x)\) zu \(H^p\), so besitzt \(f (x)\) eine \textit{Fourier}transformierte \(F (x)\) in \(L^p\); \(F (x)\) gehört zu \(L^{*p}\), und es gilt \[ f(x) = \sqrt{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty F(u)e^{iux}\,du, \] wo das rechtstehende Integral im Sinn der \((C, 1)\)-Summierbarkeit gemeint ist (d. h. gleich dem \(\lim\limits_{\omega\to\infty}\) des über \(u\) von \(-\omega \) bis \(+ \omega\) erstreckten Integrals mit dem Integranden \((1 - |u| \omega^{-1})F(u) e^{i\omega x}\) ist). II. Gehört \(F (x)\) zu \(L^{*p}\), so ist \(F\) die \textit{Fourier}transformierte einer zu \(H^p\) gehörigen Funktion \(f (x)\). III. Gehört \(f (x)\) zu \(H^pL^q\), so besitzt \(f (x)\) eine \textit{Fourier}transformierte \(F (x)\) in \(L^p\) welche zu \(H^qL^p\) gehört. \(f(-x)\) ist die \textit{Fourier}transformierte in \(L^q\) von \(F (x)\). Von besonderem Interesse ist die aus III sich ergebende vollständige Reziprozität in der Klasse \(H^pL^p\).