The resultant of two Fourier kernels. (Q2612368)

Ein \textit{Fourier}scher Kern ist eine Funktion \(K (x)\), die Veranlassung gibt zu einer Formel nach Art des \textit{Fourier}schen Integraltheorems: \[ f(x)=\int\limits_0^\infty K(xu)\, du \int\limits_0^\infty K (ut)f (t)\, dt. \] Die Resultante \(M (x)\) (eine Art Faltung) zweier Kerne \(K (x)\) und \(L (x)\) ist definiert durch \[ M(x)=\int\limits_0^\infty K(xt)L(t)\,dt. \tag{1} \] Wenn \(K\) und \(L\) \textit{Fourier}sche Kerne sind, so ist es in gewissem Sinne auch \(M\). Einen präzisen Sinn kann man dieser Aussage vermittels der von \textit{G. N. Watson} (Proc. London Math. Soc. (2) 35 (1933), 156-199; F. d. M. \(59_{\text{II}}\)) entwickelten Theorie geben. Diese besagt: Wenn \(\dfrac1x K_1(x)\) in \((0, \infty)\) \(L^2\)-integrabel und für positive \(a\), \(b\) \[ \int\limits_0^\infty \frac{K_1(ax)K_1(bx)}{x^2}\,dx = \mathop{\text{Min}} (a, b) \] ist, so ist \(K_1\) ein \textit{Fourier}scher Kern in folgendem Sinn: Wenn \(f (x)\) \(L^2\)-integrabel und \(g (x)\) durch \[ \int\limits_0^x g(y)\,dy=\int\limits_0^\infty \frac{K_1(xt)}t \,dt \] definiert ist, so ist \(g (x)\) auch \(L^2\)-integrabel, und es gilt zwischen \(f\) und \(g\) auch die reziproke Relation. Der gewünschte Satz erhält nun folgende Gestalt: Wenn \(K_1\) und \(L_1\) die Bedingungen des \textit{Watson}schen Satzes erfüllen, so gilt dasselbe für die durch \[ \int\limits_0^x M_1\left(\frac1y\right)\,dy =\int\limits_0^\infty \frac{K_1(t)}t \frac{L_1(xt)}t\,dt \tag{2} \] definierte Funktion \(M_1\). -- Sind \(K_1\), \(L_1\), \(M_1\) die Integrale von \(K\), \(L\), \(M\), so reduziert eine zweimalige Differentiation (2) auf (1). Die \(M\)-Transformation heißt die Resultante der \(K\)- und \(L\)-Transformation. Hierfür wird eine Reihe von Beispielen gegeben. So ist die Resultante der cos- und der sin-Transformation eine Transformation mit dem Kern \(\dfrac2\pi\dfrac1{1-x^2}\), die im wesentlichen mit der \textit{Hilbert}schen (von anderen auch nach \textit{Stieltjes} benannten) Transformation identisch ist.