Ancora sull'inversione della trasformazione di Laplace. (Q2612379)

Im Anschluß an die vorstehend referierte Note wird gezeigt, wie in dem Fall, daß \(f (s)\) im Unendlichen nicht regulär ist, die Umkehrung vermittels \textit{Laguerre}scher Polynome in gewissem Sinne abgeändert werden kann: Wenn \(s f (s)\) in \(\Re s \geqq b\) regulär und \textit{beschränkt} und \(f (s)\) daher mit \(\frac12 - h \geqq b\) in die Reihe \[ f(s)=\frac1{s+h} \sum_{n=0}^\infty a_n \left(\frac{s+h-1}{s+h}\right)^n \] entwickelbar ist, so konvergiert die Reihe \[ F (t,\alpha) = e^{-ht} \sum_{n=0}^\infty \alpha^na_nL_n(t) \qquad (0 < \alpha < 1) \] absolut und gleichmäßig in jedem endlichen Intervall der positiven \(t\)-Achse, und es ist \[ f(s) = \lim_{\alpha\to1}\int\limits_0^\infty e^{-st}F(t,\alpha)\,dt. \] Ein Fall, wo \(f (s)\) in \(s =\infty\) nicht regulär ist und trotzdem die Umkehrformel in ihrer ursprünglichen Gestalt gilt, ist folgender: \[ \begin{aligned} &f(s)= \frac1s e^{-as}=\frac{e^{-a}}s\left\{1+\sum_{n=1}^\infty [L_n(a)-L_{n-1}(a)]\left(\frac{s-1}s\right)^n\right\}\qquad (a >0), \\ &F(t)=\left\{\begin{matrix} 0&\text{für} &0\leqq t<a\\ 1&\text{für} &t\geqq a\hfill\end{matrix}\right\} = e^{-a}\left\{ 1+ \sum_{n=1}^\infty [L_n(a)-L_{n-1}(a)]L_n(t)\right\}. \end{aligned} \] Aus der letzten Zeile läßt sich die Formel (\(a > 0\), \(b >0\)) \[ 1+\sum_{n=1}^\infty [L_n(a)-L_{n-1}(a)][L_n(b)-L_{n-1}(b)] = e^{\text{Min}\,(a,b)} \] ableiten, die als Spezialfall \[ 1+\sum_{n=1}^\infty [L_n(x)-L_{n-1}(x)]^2=e^x \] enthält. (Vgl. hierzu das übernächste Referat über \textit{D. V. Widder}, An application of Laguerre polynomials, Duke math. Journ. 1 (1935), 126-136.)