Trasformazione di Laplace e polinomi di Laguerre. II: Alcune nuove formule sui polinomi di Laguerre. (Q2612380)

Wegen der Bezeichnungen vgl. die oben referierte Note I unter diesem Titel (F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 450). Auf Grund der Formel \[ \mathfrak L\left\{ \frac{t^\alpha L_n^{(\alpha)}(t)}{\varGamma(\alpha+n+1)} \right\}\frac1{s^{\alpha+1}}\frac1{n!} \left(\frac{s-1}s\right)^n\qquad (\alpha>-1)\tag{1} \] ergibt sich durch Summation nach \(n\) und Beachtung der Gleichung \[ \frac{k^\alpha}{2^\alpha s^{\alpha+1}} e^{\textstyle -\frac{k^2}{4s}} = \mathfrak L \bigl\{ t^{\textstyle\frac\alpha2} J_\nu (k\sqrt t)\bigr\} \] die Formel: \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{L_n^{(\alpha)}(t)}{\varGamma(\alpha+n+1)} =e t^{\textstyle-\frac\alpha2} J_\alpha(2\sqrt t). \] Besonders bemerkenswert ist der Spezialfall \(\alpha = \frac12\): \[ \frac{\sin(2\sqrt t)}{2\sqrt t} =\frac1e \sum_{n=0}^\infty \frac{2^nL_n^{\left(\frac12\right)}(t)}{1\cdot3\cdots(2n+1)}. \tag{2} \] Der Vergleich der Formel (1) mit zwei von \textit{G. Doetsch} (Math. Z. 32 (1930), 587-599; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 989) für die \textit{Laplace}-Transformierte der \textit{Hermite}schem Funktionen \[ H_n (x)=(-1)^n e^{\textstyle\frac{x^2}2} \frac{d^n}{dx^n}\bigl(e^{\textstyle-\frac{x^2}2}\bigr) \] abgeleiteten Darstellungen führt zu den bekannten Formeln: \[ \frac1{\sqrt{2t}}H_{2n+1}(\sqrt{2t}) = (-2)^n n! L_n^{\left(\frac12\right)}(t),\qquad H_{2n}(\sqrt{2t}) =(-2)^nn! L_n^{\left(-\frac12\right)}(t). \] Hieraus ergibt sich in Verbindung mit (2): \[ \sin x =\frac{\sqrt2}e \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \frac{H_{2n+1}\left(\dfrac x{\sqrt2}\right)}{1\cdot3\cdots (2n+1)}\,\cdot \] Unter Verwendung des Faltungssatzes ergibt sich aus (1): \[ \varLambda(\alpha,n,t) *\varLambda(\beta,m,t)= \varLambda(\alpha+\beta+1,m+n,t), \] wo \[ \varLambda(\alpha, n, t) = \frac{n!}{\varGamma(\alpha+n+1)} t^\alpha L_n^{(\alpha)}(t) \] und \[ F_1*F_2=\int\limits_0^t F_1(\tau)F_2(t - \tau)\,d\tau \] ist. Speziell erhält man für \(\alpha=\beta = 0 \): \[ L_n(t)*L_m (t) = L_{m+n}(t)*1. \]