Sul fondamento matematico della teoria degli invarianti adiabatici. (Q2612418)

Auf einer Mannigfaltigkeit \(V\) wird eine inkompressible Strömung betrachtet. Das invariante Maß auf \(V\) sei mit \(m\) bezeichnet, \(m(V) < \infty\). Es seien \(P(t)\) bzw. \(A(t), \dots\) der Punkt bzw. die Punktmenge, welche aus \(P\) bzw. \(A, \dots\) nach Ablauf der Zeit \(t\) hervorgehen. Die Strömung wird als metrisch transitiv vorausgesetzt. Dann gilt nach dem Ergodensatz für fast alle \(P\) \[ \lim_{\tau = \infty} \frac{1}{\tau} \int\limits_{0}^{\tau} f(P(t)) \, dt = \frac{1}{m(V)} \int\limits_{V} f(P) \, dm. \tag{1} \] Es sei nun \(\sigma\) ein Hyperflächenstück in \(V\), dessen Dimension um Eins kleiner als die von \(V\) ist und das von den Stromlinien geschnitten (nicht berührt) wird. Ferner sei \(\varGamma_{\tau}\) der Teil von \(V\), welcher von \(\sigma(t)\), \(0 \leqq t \leqq \tau\), überstrichen wird. Dabei werde jeder Punkt so oft gezählt (Multiplizität), wie er von \(P(t)\) überstrichen wird. Das invariante Volumenelement \(d m_{\tau}\) wird durch \(dm\) mal der Multiplizität von \(dm\) definiert. Der Verf. beweist dann die in \textit{Levi-Civita}s Theorie der adiabatischen Invarianten eine Rolle spielende Gleichung \[ \lim_{\tau = \infty} \frac{1}{m_{\tau}(\varGamma_{\tau})} \int\limits_{\varGamma_{\tau}} f(P) \, d m_{\tau} = \frac{1}{m(V)} \int\limits_{V} f(P) \, dm. \] Diese Gleichung ist auf Grund von (1) anschaulich evident. Der Verf. gibt einen strengen Beweis, aufgebaut auf präzise Voraussetzungen. Die Voraussetzung der vollständigen Transitivität scheint dem Referenten entbehrlich zu sein.