Über die partiellen Differentialgleichungen, denen hermitesche Formen genügen. (Q2612511)

Versteht man unter \(A\) eine lineare homogene Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung \((n \geqq 1\)) mit eindeutigen, in der unabhängigen komplexen Veränderlichen \(z = x + iy\) analytischen Koeffizienten und unter \(y_0,\dots,y_{n-1}\) ein Fundamentalsystem von Integralen von \(A\), so nennt Verf. die zu \(y_0,\dots,y_{n-1}\) gehörige Monodromiegruppe hermitesch, wenn es eine hermitesche Form \((y, \overline{y}) = \sum\limits_{\alpha, \beta = 0}^{n-1} a_ {\alpha\beta} y_\alpha \overline{y}_\beta\) mit nichtverschwindender Determinante gibt, die durch Substitutionen dieser Gruppe reproduziert wird. Ferner definiert Verf: Ist die Monodromiegruppe von \(A\) hermitesch und wird die hermitesche Form \((y, \overline{y})\) durch die zum Fundamentalsystem \(y_0,\dots,y_{n-1}\) von Integralen von \(A\) gehörige Monodromiegruppe reproduziert, so wird das System der von \((y, \overline{y})\) abgeleiteten hermiteschen Formen \(H_l\) \ \((0 \leqq l \leqq n-1)\), gebildet mit den Integralen des Fundamentalsystems und ihren Ableitungen \(y_0^j,\dots, y_{n-1}^j\) (\(j = 0,\dots, l\)), Monodromiesystem von \(A\) genannt: \[ H_l = \sum_{_{\substack{ \alpha_0 < \cdots < \alpha_l \\ \beta_0 < \cdots < \beta_l }}} \begin{vmatrix} \l & \;\l \;& \l \\ a_{\alpha_0\beta_0} & \cdots & a_{\alpha_0\beta_l} \\ \cdot & & \\ \cdot & & \\ \cdot & & \\ a_{\alpha_l\beta_0} & \cdots & a_{\alpha_l\beta_l} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \l & \;\l \;& \l \\ y_{\alpha_0}^0 & \cdots & y_{\alpha_l}^0 \\ \cdot & & \\ \cdot & & \\ \cdot & & \\ y_{\alpha_0}^l & \cdots & y_{\alpha_l}^l \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \l & \;\l \;& \l \\ \overline{y}_{\beta_0}^0 & \cdots & \overline{y}_{\beta_l}^0 \\ \cdot & & \\ \cdot & & \\ \cdot & & \\ \overline{y}_{\beta_0}^l & \cdots & \overline{y}_{\beta_l}^l \end{vmatrix}. \] Unter diesen Voraussetzungen beweist Verf. schließlich den Satz: Das System \[ \frac {\partial^2 \log |H_j|}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 \log |H_j|}{\partial y^2} = 4 \frac{H_{j-1} \cdot H_{j+1}}{H_j^2} \quad (j=0,\dots, n-1; \;H_{-1} = 1, \;H_n = 0) \tag{*} \] von partiellen Differentialgleichungen steht zur Menge linearer homogener Differentialgleichungen \(n\)-ter Ordnung mit eindeutigen, in der komplexen Variablen \(z = x + iy\) analytischen Koeffizienten und mit hermitescher Monodromiegruppe in folgender Beziehung: (a) Jedes Monodromiesystem einer beliebigen Differentialgleichung der Menge ist eine Lösung von (*); (b) zu jeder reellen analytischen und eindeutigen Lösung von (*) gibt es eine Differentialgleichung der Menge, so daß die Lösung ein Monodromiesystem dieser Differentialgleichung darstellt. Man hat in diesem Ergebnis eine Verallgemeinerung gewisser von \textit{L. Schlesinger} bereits für \(n = 2, 3\) gefundener Resultate zu sehen.