A priori limitations for solutions of Monge-Ampère équations. (Q2612523)

Seien \(A, B, C, D, E\) analytische Funktionen von \(u, v, x, p, q\) in der Umgebung eines reellen Punktes \(T_0(u_0, v_0, x_0, p_0, q_0)\), wobei \(p_0^2 + q_0^2 \leqq 1\) ist; und zwar sollen sie für reelle Argumente reelle Werte annehmen. Die Funktion \[ \varDelta = 4(AC + DE)- B^2 \] habe im Punkt \(T_0\) den positiven Wert \(2\alpha^2\). In der durch die Ungleichungen \[ \begin{matrix} |u - u_0| \leqq \varepsilon, \quad |v - v_0| \leqq \varepsilon, \quad |p - p_0| \leqq 2\varepsilon M, \quad |q - q_0| \leqq 2\varepsilon M, \\ |x - x_0 - p_0 (u - u_0) - q_0 (v-v_0)| \leqq 4\varepsilon^2 M \end{matrix} \] charakterisierten komplexen Umgebung von \(T_0\) sei \[ | \varDelta | > \alpha^2, \quad 4 | AC + DE | > \alpha^2, \] während die Funktionen \(A, B, C, D, E\) und ihre ersten partiellen Ableitungen absolut \(< K\) sein mögen. Wenn dann für eine analytische Lösung der \textit{Monge-Ampèreschen} Differentialgleichung \[ Ar+ Bs+ Ct + D(rt- s^2) = E, \] wobei \(u, v\) die unabhängigen Variablen sind, und \(x\) die unbekannte Funktion ist, während \(p, q, r, s, t\) die übliche Bedeutung haben, im Bereich \[ |u - u_0| \leqq \varepsilon, \quad |v - v_0| \leqq \varepsilon \] die Abschätzungen \[ |r| \leqq M, \quad |s| \leqq M, \quad |t| \leqq M \] gelten, wo \(M\) die auch oben vorkommende Zahl ist, so wird gezeigt, daß auch die höheren Ableitungen absolut unterhalb von Schranken bleiben, die nur von \(\alpha, \varepsilon, K, M\) abhängen, und daß entsprechend die assoziierten Konvergenzradien der \textit{Taylor}schen Reihe oberhalb solcher Schranken bleiben.