On a theorem of Féraud. (Q2612529)

In der \textit{Birkhoff}schen Dynamik spielt das Problem, vermöge einer nicht singulären Transformation \[ x_i =x_i (y_1,\dots,y_{2m}), \] welche den Ursprung festläßt und überdies periodisch von der Zeit abhängt, die \textit{Pfaff}sche Form \(\sum\limits_{i=1}^{2m} X_i dx_i\) in die Form \(\sum\limits_{i=1}^{m} y_{2i} dy_{2i-1} + d\omega\), worin \(d\omega\) ein in \(y_1, \dots, y_{2m}\) exaktes Differential darstellt, überzuführen, eine wichtige Rolle. \textit{Féraud} hat diese Aufgabe gelegentlich (C. R. 190 (1930), 358-360; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 1059) unter Verwendung der \textit{Riquier}schen Existenztheoreme für partielle Differentialsysteme mit Beschränkung auf analytische Bereiche gelöst. Statt dessen liefert Verf. einen neuen Beweis des \textit{Féraud}schen Theorems, der nur des Existenzsatzes der Lösungen gewöhnlicher Differentialsysteme bedarf und überdies nicht auf analytische Lösungen beschränkt bleibt. Nach Beweis einiger Hilfssätze kommt Verf. zu folgendem Schlußresultat: Genügt eine \textit{Pfaff}sche Form \[ \omega = \sum_{i=1}^{2m} X_i \, dx_i \] den Bedingungen: (1) die \(X_i\) sind von der Klasse \(C^{4m+p}\) \ \((p \geqq 0)\), (2) keiner dieser Koeffizienten \(X_i\) verschwindet im Ursprung, (3) die Determinante \(|a_{ij}|\) verschwindet nicht im Ursprung \[ \left( a_{il} = \frac {\partial X_i}{\partial x_l} - \frac {\partial X_l}{\partial x_i} \right), \] so existiert eine nichtsinguläre Koordinatentransformation, definiert in der Umgebung des Ursprungs und diesen festlassend, vermöge welcher \(\omega\) in der Form \[ \sum_{i=1}^m y_{2i} dy_{2i-1} + d \left( \sum_{i=1}^m y_{2i-1} \right) \] erscheint. Diese Transformation ist von der Klasse \(C^{p+1}\).