Über den zentralen Grenzwertsatz in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Q2612675)

Die Aufgabe, die der sogenannte Grenzwertsatz zu lösen hat, kann sehr allgemein so gefaßt werden: Es sei eine Folge von Verteilungsfunktionen \(V_n(x)\) gegeben. Jedes \(V_n\)(x) sei definiert für alle reellen \(x\) und sei monoton; für \(x\to-\infty\) soll \(V_n (x)\to 0\), für \(x\to\infty\) soll \(V_n(x)\to 1\) gehen. Die zugehörigen ``Faltungsfunktionen'' seien \[ W_1 (x) = V_1 (x),\quad W_{n+1}(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} W_n (x - y) dV_{n+1} (y). \] Gesucht zwei Zahlenfolgen \(a_n\) und \(c_n\) derart, daß \[ W_n(a_nx+c_n)\to\varPhi(x)\equiv\frac1{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^x e^{-\tfrac{y^2}2}dy. \] Dabei muß weiter für die \(a_n\) gefordert werden, daß \(a_n\to\infty\) und \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to 1\). Existieren zwei solche Folgen, so soll dafür gesagt werden: Die Folge \(V_n (x)\) gehört zu \(\varPhi(x)\). Unter welchen notwendigen und hinreichenden Bedingungen gehört eine Folge von Verleitungen zu \(\varPhi(x)\)? Hinreichende Bedingungen sind unter einschränkenden Voraussetzungen von \textit{Lindeberg} (Math. Z. 15 (1922), 211-225; F. d. M. 48, 602 (JFM 48.0602.*)) gegeben worden. Allgemeiner zeigt Verf: Zunächst lassen sich ohne Einschränkung der Allgemeinheit die Nullpunkte der \(V_n(x)\) durch die Festsetzung festlegen, daß für alle \(k\) \[ \lim_{\xi\to 0-}\int\limits_{-\infty}^\xi dV_k(x)\leqq\tfrac12,\qquad \lim\limits_{\xi\to 0+}\int\limits_\xi^\infty dV_k(x)\leqq\tfrac12. \] Ferner sei \(p_n(\delta)\) für jedes \(\delta>0\) die kleinste Zahl, für die \(\sum\limits_{k=1}^n \int\limits_{|x|>p_n(\delta)} dV_k(x)\leqq\delta\). Satz: Dann und nur dann gibt es eine Zahlenfolge \(b_k\) derart, daß die Folge der \(V_k(x+ b_k)\) zu \(\varPhi(x)\) gehört, wenn für jedes \(\delta >0\) \[ \lim_{n\to\infty}\frac1{p^2_n(\delta)}\sum_{k=1}^n\int\limits_{|x|<p_n(\delta)} x^2 dV_k(x)=\infty. \] Die Beweise schließen sich an einen von \textit{P. Lévy} gegebenen Beweis des \textit{Lindeberg}schen Satzes an. Die \textit{Lindeberg}schen Betrachtungen ergeben sich durch Spezialisierung. Zum Schluß der Arbeit wird eine Folge von lauter gleichen Komponenten \(V_n(x)= V (x)\) untersucht.