Une nouvelle méthode de statistique théorique (problèmes à deux dimensions). (Q2612709)

Die Verf. gründet auf ihre an anderer Stelle (vgl. die vorstehende Besprechung) ausführlich dargestellte Methode zur Behandlung von Problemen der mathematischen Statistik eine neuartige Auffassung der \textit{Lexis}schen Methode, die hier auf zweidimensionale Merkmale erweitert wird. Es liegen \(m\) Beobachtungen \((X_1, Y_1)\), \((X_2, Y_2),\ldots\), \((X_m, Y_m)\) eines zweidimensionalen Merkmals vor. Man nimmt an, daß es eine Wahrscheinlichkeit \(p(x, y)\) gibt dafür, daß das Merkmal \((x, y)\) erscheint. Die Verteilung \(p(x,y)\) sei zwar der Form nach bekannt, enthalte aber noch \(j\) unbekannte Parameter \(\alpha_1\), \(\alpha_2,\ldots\), \(\alpha_j\). Man versucht, eine Funktion \(\varPhi(x_1, y_1,\ldots, x_m, y_m)\) der beobachteten Merkmale aufzustellen, deren Wert für \(x_1=X_1\), \(y_1 = Y_1,\ldots\) mit dem Erwartungswert \(\mathfrak E(\varPhi)\) innerhalb des Kollektivs, dessen Verteilung durch \[ p(x_1,y_1)\ldots p(x_m,y_m) \] gegeben ist, unter Berücksichtigung der Streuung verglichen wird. Bezeichnen \(M_1, M_2,\ldots\) irgendwelche Momente von \(p(x,y)\) und \(M_1\), \(M_2,\ldots\) ``empirische'' Momente der relativen Häufigkeiten der Beobachtungen, und erhält man nach Elimination der \(j\) Parameter \(\alpha\) eine Beziehung \(G(M_{\beta_1}, M_{\eta_2},\ldots, M_{\beta_{j+1}})\), dann wählt man \(\varPhi= F(M_1,M_2,\ldots)\) derart, daß \[ \mathfrak E(F)=G(M_1,\ldots,M_{\beta_{j+1}}). \] Die Rechnungen werden durchgeführt für die beiden Annahmen \[ \begin{aligned} p(x,y)&=\frac{n!}{x!y!(n-x-y)!}q^xr^y(1-q-r)^{n-x-y}\hskip10em \tag{1} \\ \noalign{\noindent und} p(x,y)&= \tag{2}\\ \noalign{\hfill \(\sum_i\frac{n!}{z!(x-z)!(y-z)!(n-x-y+z)!} q^{x-z}r^{y-z}s^z(1-q-r-s)^{n-x-y+z}.\)} \end{aligned} \]