Das Differenzenverfahren mit höherer Approximation für lineare Differentialgleichungen. (Q2612820)

Bei dem gewöhnlich zur genäherten Lösung von Differentialgleichungsproblemen angewandten Differenzenverfahren, bei dem die Differentialquotienten durch die entsprechenden Differenzenquotienten ersetzt werden, erhält man erfahrungsgemäß meistens mit großer Maschenweite \(h\) nach kurzer Rechnung durch die Näherungswerte in den Gitterpunkten einen guten Überblick über die Lösung der Differentialgleichung. Pas Verfahren konvergiert aber bei Verkleinerung von \(h\) nur langsam gegen diese Lösung. Verf. entwickelt nun ein Differenzenverfahren mit höherer Approximation, bei dem er für die Differentialquotienten finite Ausdrücke einsetzt, deren Unterschied von diesen in \(h\) von höherer Ordnung ist, als der der entsprechenden Differenzenquotienten. Dadurch erzielt er mit abnehmendem \(h\) eine bessere Konvergenz. Besonders wertvoll ist, daß er stets eine Schranke für die Abweichung der Differenzenlösung von der exakten Lösung des Problems angibt. Nach Aufstellung solcher finiter Ausdrücke bestimmter Ordnung in einer und mehreren Dimensionen wird das Verfahren zunächst auf Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen angewendet und die Lösbarkeit des dabei auftretenden Systemes linearer Gleichungen nachgewiesen. Am Torsionsproblem für den Stab mit konstantem quadratischem Querschnitt wird insbesondere die Fehlerabschätzung erläutert. Weiter wird bei der Lösung des Anfangswertproblemes der inhomogenen Wellengleichung der Fehler abgeschätzt und bei der Lösung der homogenen Wellengleichung gezeigt, daß das System der Gitterwerte, die man mit der Differenzengleichung erster Annäherung berechnet, auch die Differenzengleichungen beliebiger Annäherung erfüllt. Der letzte Abschnitt beschäftigt sich mit der Anwendung des Verfahrens auf ein Anfangswertproblem der nichthomogenen Wärmeleitungsgleichung \(f_{xx}-kf_y = t(x,y)\), bei der die Lösung der Differenzengleichung erster Ordnung nur dann gegen die der Differential gleichung konvergiert, wenn zwischen der Maschenweite \(l\) in der Richtung der \(y\)-Achse und der Maschenweite \(h\) in der \(x\)-Richtung eine Beziehung der Form \(2l = k h^2\) besteht; der Fehler der Näherungsfunktion an einer bestimmten Stelle des Bereiches ist dann proportional \(h^2\).