Sur une conception des axiomes du premier groupe de la géométrie projective. (Q2612840)

\textit{Enriques} hat in seinen Vorlesungen über projektive Geometrie (deutsche Übersetzung 1903; F. d. M. 34, 584 (JFM 34.0584.*)) ein System von Axiomen der Verknüpfung für die projektive Geometrie aufgestellt; er nennt diese Axiome Axiome des Enthaltenseins oder der Zugehörigkeit, weil sie von der Grundbeziehung des Enthaltenseins (eines Punktes oder einer Geraden in einer Geraden oder in einer Ebene) handeln. Verf. faßt die Beziehung der Zugehörigkeit allgemeiner, indem er sie als Beziehung zwischen zwei Elementen verschiedener Klasse einführt (die Axiomatik handelt, wie üblich, von drei Klassen von Dingen, der Klasse der Punkte, der der Geraden und der der Ebenen). Er stellt zunächst die folgenden drei ``axiomes de la connexion'' auf: I: (a) Wenn ein Element \(x\) zu dem Element \(y\) gehört, so gehört auch das Element \(y\) zum Element \(x\). (b) Wenn der Punkt \(A\) und die Ebene \(a\) beide zu der Geraden \(a\) gehören, so gehören sie zueinander. (c) Es existieren wenigstens vier Punkte, die weder zu einer Geraden noch zu einer Ebene gehören. Zu diesen drei Axiomen nimmt Verf. die ersten vier \textit{Enriques}schen ``axiomes de l'appartenance'' hinzu: II: (1) Zwei Punkte bestimmen eine Gerade, die zu ihnen gehört. (2) Zwei Ebenen bestimmen eine Gerade, die zu ihnen gehört. (3) Ein Punkt und eine nicht zu diesem Punkt gehörende Gerade bestimmen eine Ebene, die zu ihnen gehört. (4) Eine Ebene und eine nicht zu dieser Ebene gehörende Gerade bestimmen einen Punkt, der zu ihnen gehört. Verf. zeigt, daß diese Axiome Ia, b, c; II 1, 2, 3, 4 unabhängig sind, und daß man aus ihnen die Axiome der Verknüpfung sowohl von \textit{Enriques} als auch von \textit{Hilbert} (die dazu der projektiven Geometrie entsprechend umgeformt werden müssen) herleiten kann.