Über Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen. (Q2612870)

Bekanntlich läßt sich jede Verkettung als geschlossener Zopf auffassen. Verf. betrachtet solche Verkettungen, denen ein irreduzibler (d. h. nicht in zwei getrennte Zöpfe zerfallender) gleichsinnig verdrillter Zopf entspricht. Ist \(n\) die Anzahl der Fäden, \(m\) die der Überkreuzungen eines solchen Zopfes, so ist (das ist das Hauptergebnis der Arbeit) \(m - n + 1\) eine Invariante der Verkettung (Vermutung von \textit{Bankwitz}). Die Gruppe \(\mathfrak Z\) der Zöpfe mit \(n\) Fäden läßt sich nach \textit{Artin} (Abhandl. Hamburg 4 (1925), 47-72; F. d. M. 51, 450 (JFM 51.0450.*)) erzeugen von \(n\) Elementen \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), \dots, \(\sigma_n\) mit den Relationen \[ \begin{matrix} \l \qquad & \l \\ \sigma_i\sigma_k\sigma_i^{-1}\sigma_k^{-1} = 1 & (k \neq i-1, \;i + 1), \\ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1} & (i=1,2, \ldots n-2). \end{matrix} \] Man rechnet leicht nach, daß die Matrizen \(M_i\), die an der Kreuzung der \(i\)-ten und \((i + 1)\)-ten Zeile mit der \(i\)-ten und \((i + 1)\)-ten Spalte die Matrix \( \begin{pmatrix} 1- x & x \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), sonst in der Hauptdiagonale Einsen und an allen anderen Stellen Nullen enthalten, eine Darstellung der \(\mathfrak Z_n\) bilden. Ist \(M\) die dem Zopf \(Z\) zugeordnete Matrix, so ist wegen der Invarianz des charakteristischen Polynoms gegen Transformation jeder Koeffizient von \[ F(\lambda) = |M - \lambda E| = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} f_1(x) \lambda^{n-1} + \cdots + f_n(x) \] eine Invariante der Zopfklasse, d. h. des geschlossenen Zopfes. Bildet man jetzt, ausgehend von der Wegegruppe der Verkettung, die durch \(n\) die einzelnen Zopffäden umschlingende Elemente \(A_1\), \(A_2\), \dots, \(A_n\) mit den Relationen \[ q_i(A_1, \ldots, A_n)A_{\varrho_i}q_i^{-1}(A_1, \ldots, A_n)A_i^{-1} =1 \quad (i = 1, 2, \ldots, n), \] von denen noch eine eine Folge der übrigen ist, erzeugt wird, in bekannter Weise (\textit{Reidemeister-Schumann}, Abhandl. Hamburg 10 (1934), 256-262; JFM 60.0256.*) die \(L\)-Matrix \(W\) und das mit der Verkettung invariant verknüpfte \(L\)-Polynom \(P_1(x_1, \ldots, x_r)\) (wobei \(r\) die Anzahl der Kurven der Verkettung ist), so zeigt sich: \(W = M-E\), und die (bis auf einen Faktor \(x^{\pm k}\) bestimmte) Verkettungsinvariante \(\mathfrak P(x) = (1- x)P_1(x, \ldots,x)\) läßt sich durch die in \(F(\lambda)\) auftretenden Zopfinvarianten so darstellen: \[ \begin{aligned} (1+x + \cdots + x^{n-1})\mathfrak P(x)=f_{n-1}(x)- 2f_{n-2}(x) - \cdots - (-1)^{n-1}(n-1) f_1(x)-(-1)^n n& \\ =f_n(x) - f_{n-2}(x) + 2f_{n-3}(x) - \cdots -(-1)^{n-1}(n-2)f_1(x)-(-1)^n(n-1)&. \end{aligned} \] \(Z\) sei jetzt eine gleichsinnig verdrillte Verkettung. Ist \(Z\) reduzibel, so zerfällt \(W\) in die längs der Hauptdiagonale aufgereihten Matrizen \(W_i\) der einzelnen Bestandteile, und für den größten gemeinsamen Teiler \(P_1(x_1,\ldots, x_r)\) der \((n-1)\)-reihigen Unterdeterminanten von \(W\), also auch für \(\mathfrak P(x)\), ergibt sich wegen \(|W_i| = 0\) Null. Einen irreduziblen \(Z\) kann man auf folgende Gestalt bringen: \(Z\) besteht in seinem ersten Teil aus einem Zweierzopf (und danebenliegenden Einzelfäden); dann werden der Reihe nach Nachbarfäden an der Zopfbildung beteiligt, so daß Dreier-, Vierer- usw. Zopfbestandteile entstehen. Für einen solchen \(Z\) kann man mit Hilfe der Matrizen \(M\) rekursiv zeigen: \[ \mathfrak P(x) = (- 1)^m x^{m-n+1} + \cdots \pm 1, \] womit \(m-n+1\) als Verkettungsinvariante erkannt ist.