Beiträge zur Topologie der Deformationen. I: Höherdimensionale Homotopiegruppen. (Q2612881)

Diese Note bildet zusammen mit vier weiteren gleichen Titels (vgl. nachstehendes Referat sowie Proc. Acad. Amsterdam 39 (1936), 117-126, 213-224; F. d. M. 62; Note V noch nicht veröffentlicht) eine vorläufige Mitteilung von Ergebnissen des Verf., durch die die Homotopie-Topologie wesentlich gefördert wird. Beweise werden gar nicht oder nur gekürzt angegeben; eine ausführliche Veröffentlichung soll folgen. Es seien \(X\) und \(Y\) metrisierbare separable Räume, \(X\) kompakt und von endlicher Dimension, \(Y\) zusammenhängend und lokal zusammenziehbar, d. h. zu jeder Umgebung \(U\) eines jeden Punktes \(p\) von \(Y\) gebe es eine in \(U\) zusammenziehbare Umgebung von \(p\). Der Raum \(Y^X\) der eindeutigen stetigen Abbildungen von \(X\) in \(Y\) ist dann lokal zusammenziehbar; er besitzt höchstens abzählbar viele Komponenten, in deren jeder sich je zwei Punkte durch einen Weg verbinden lassen, so daß die Komponenten von \(Y^X\) die Klassen von Abbildungen von \(X\) in \(Y\) sind. In jeder einzelnen Komponente, allgemeiner auch in geeigneten Teilmengen der Komponenten, ist die Fundamentalgruppe definiert, wodurch jeder Abbildungsklasse eine Gruppe zugeordnet ist. Nimmt man nun für einen der beiden Räume einen festen Raum, so liefern die Wegegruppen der Komponenten von \(Y^X\), ebenso die Wegegruppen von Teilmengen der Komponenten, topologische Invarianten des anderen Raumes. Verf. nimmt folgende Spezialisierung vor: \(X\) sei die \((n-1)\)-dimensionale Sphäre \(S_{n-1}\) und \(N\) die Teilmenge des Raumes \(Y^X\), durch deren Elemente ein fester Punkt \(x_0\) von \(S_{n-1}\) auf einen festen Punkt \(y_0\) von \(Y\) abgebildet wird. Die Wegegruppen der Komponenten von \(N\) sind dann untereinander isomorph, und ihre Struktur hängt auch nicht von der Wahl von \(x_0\) und \(y_0\) ab. Man erhält also eine eindeutig bestimmte Gruppe \(\pi_n(Y)\), die Verf. als \(n\)-\textit{te Homotopiegruppe} von \(Y\) bezeichnet. (Eine äquivalente Definition der Homotopiegruppen findet sich bei \textit{Čech}, La notion de variété et les théorèmes de dualités, Verhandl. Kongreß Zürich 2 (1932), 194; F. d. M. 58.) \(\pi_1(Y)\) ist die Fundamentalgruppe von \(Y\); für \(n\geqq 2\) sind die \(\pi_n(Y)\) kommutativ und stimmen mit den \(\pi_n\) eines jeden unverzweigten Überlagerungsraumes von \(Y\) überein. Daß \(\pi_n(Y)\) verschwindet, d. h. sich auf das Einheitselement reduziert, ist gleichbedeutend damit, daß \(Y^{S_n}\) zusammenhängend ist, also nur aus der Klasse der unwesentlichen, d. h. in die Abbildung auf einen Punkt deformierbaren, Abbildungen besteht. Wenn die ersten \(k\) Homotopiegruppen verschwinden, aber nicht die \((k+1)\)-te, so gibt es einen kompakten Raum \(X\) von der Dimension \(k + 1\), aber keinen von geringerer Dimension, der sich auf \(Y\) wesentlich abbilden läßt, woraus bei kompaktem \(Y\) das Verschwinden der Homologiegruppen der entsprechenden Dimensionen folgt. Bei kompaktem \(k\)-dimensionalem \(Y\) verschwinden die ersten \(k\) Homotopiegruppen dann und nur dann, wenn \(Y\) in sich auf einen Punkt zusammenziehbar ist, woraus dann das Verschwinden aller höheren Homotopiegruppen folgt. Das Verschwinden der ersten \(k\) Homotopiegruppen ist äquivalent mit der Möglichkeit der Erweiterung einer (a) in einer abgeschlossenen Teilmenge eines kompakten höchstens \((k+1)\)-dimensionalen Raumes \(X\) bzw. (b) in einer höchstens \(k\)-dimensionalen abgeschlossenen Teilmenge eines beliebig-dimensionalen kompakten Raumes \(X\) definierten Abbildung in \(Y\) zu einer stetigen Abbildung des ganzen Raumes in \(Y\). Interessante Anwendungen ergeben sich, wenn man, unter den früheren Voraussetzungen über \(X\) und \(Y\), \(Y = G\) als topologische Gruppe annimmt. \(G^X\) kann dann ebenfalls als topologische Gruppe gedeutet werden, deren Komponentengruppe (d. h. Faktorgruppe nach der Komponente der Einheit) gerade die Abbildungsklassen zu Elementen hat. -- Ist \(H\) eine abgeschlossene Untergruppe von \(G\), so bilden die rechtsseitigen Nebengruppen von \(H\) einen topologischen Raum \(G/H\), der bei ``Projektion'' jedes Elementes \(g\) auf die Nebengruppe \(Hg\) stetiges Bild des Raumes \(G\) ist. Man kann nun einerseits \((G/H)^X\), andererseits wegen \(H^X \subset G^X\) auch \(G^X/H^X\) bilden. Jede Abbildung von \(X\) in \(G\) induziert durch die Projektion von \(G\) auf \(G/H\) eine Abbildung von \(X\) auf \(G/H\), d. h. \(G^X\) ist in \((G/H)^X\) stetig abgebildet; dabei liefern die und nur die Elemente, die derselben Nebengruppe nach \(H\) angehören, dieselben Bilder, so daß \(G^X/H^X\) mit einer Teilmenge von \((G/H)^X\) identifiziert werden kann. Unter zwei Voraussetzungen, die bei allen folgenden Sätzen gelten sollen und von denen die eine für \textit{Lie}sche Gruppen \(G\), die andere bei kompaktem \(H\) immer erfüllt ist, gilt: \(G^X/H^X\) besteht aus einer oder mehreren Komponenten von \((G/H)^X\), unter denen insbesondere die Komponente der unwesentlichen Abbildungen vorkommt; ist \((G/H)^X\) zusammenhängend, so ist \((G/H)^X= G^X/H^X\), also \(G^X/H^X\) zusammenhängend, was dann und nur dann der Fall ist, wenn jede Komponente von \(G^X\) ein Element \(H^X\) enthält. Ist nun \(H\) in \(G\) zusammenziehbar, so ist \(H^X\) in der Komponente der unwesentlichen Abbildungen von \(G^X\) enthalten, und \(G^X\) und \((G/H)^X\) sind gleichzeitig zusammenhängend oder nicht zusammenhängend; das bedeutet: wenn \(X\) in \(G\) wesentlich abgebildet werden kann, dann auch in \(G/H\). -- Nimmt man für die \(G\) die multiplikative Gruppe der Quaternionen vom Betrage 1, für \(H\) etwa die Untergruppe der Elemente \(a_0 + a_1i\), so ist \(G\) der \(S_3\), \(H\) der \(S_1\) und \(G/H\) der \(S_2\) homöomorph, und man erhält: Jeder kompakte Raum, der sich auf die \(S_3\) wesentlich abbilden läßt, insbesondere die \(S_3\) selbst, läßt sich auch auf die \(S_3\) wesentlich abbilden. (Vgl. hierzu: \textit{H. Hopf}, Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche, Math. Ann. 104 (1931), 637-665; F. d. M. 57; ferner Fundamenta Math. 25 (1935), 427-440; JFM 61.0622.*-624.) Für die Homotopiegruppen einer topologischen Gruppe gilt: \(\pi_n(G)\) ist isomorph zur Komponentengruppe von \(G^{S_n}\). Ist \(H\) eine lokal zusammenziehbare abgeschlossene Untergruppe von \(G\), so verstehe man, falls \(H\) nicht zusammenhängend ist, unter \(\pi_n(H)\) die \(\pi_n\) einer Komponente (z. B. der Einheitskomponente \(H_0\)) von \(H\), unter \(\pi_0(H)\) die Komponentengruppe von \(H\). Zwischen den Homotopiegruppen von \(G\), \(H\), \(G/H\) bestehen folgende Beziehungen: \(\pi_n(G/H)\) enthält für \(n \geqq 1\) ein homomorphes Bild \(\pi_n'(G/H)\) von \(\pi_n(G) = \pi_0(G^{S_n})\), wobei das Einheitselement von \(\pi_n'(G/H)\) gerade denjenigen Komponenten von \(G^{S_n}\) entspricht, die Elemente von \(H^{S_n}\) enthalten. Für \(n \geqq 2\) ist die Faktorgruppe \(\dfrac{\pi_n(G/H)}{\pi_n'(G/H)}\) isomorph mit derjenigen Untergruppe von \(\pi_{n-1}(H)=\pi_0[(H_0)^{S_{n-1}}]\), die aus allen in der Einheitskomponente von \(G^{S_{n-1}}\) enthaltenen Komponenten von \((H_0)^{S_{n-1}}\) besteht. \(\pi_1'(G/H)\) ist im Zentrum von \(\pi_1(G/H)\) enthalten, und die Faktorgruppe \(\dfrac{\pi_1(G/H)}{\pi_1'(G/H)}\) ist isomorph zu \(\pi_0(H)\). Wenn \(\pi_{n-1}(H)\) verschwindet, ist \(\pi_n(G/H)\) homomorphes, und wenn auch noch \(\pi_n(H)\) verschwindet, isomorphes Bild von \(\pi_n(G)\). Wenn \(\pi_{n-1}(G)\) und \(\pi_n(G)\) verschwinden, ist \(\pi_n(G/H)\) mit \(\pi_{n-1}(H)\) isomorph. -In dem oben genannten Beispiel der Quaternionengruppe verschwindet \(\pi_n(H) = \pi_n(S_1)\) für \(n \geqq 2\), so daß für \(n \geqq 3\) \(\pi_n(S_2)\) und \(\pi_n(S_3\)) isomorph sind, woraus folgt, daß für jedes \(n \geqq 3\) wesentliche Abbildungen von \(S^n\) auf \(S_2\) und \(S_3\) immer gleichzeitig existieren oder nicht existieren.